Постійний складний інтерес

Складні відсотки - це відсотки, що розраховуються за первісною основною сумою, а також за накопиченими відсотками попередніх періодів депозиту чи позики. Ефект складного інтересу залежить від частоти.

Припустимо, щорічна процентна ставка становить 12%. Якщо ми розпочнемо рік зі 100 доларів, а складні лише один раз, то в кінці року основна сума зростає до 112 доларів (100 доларів США х 1, 12 = 112 доларів). Якщо ми замість цього місяця складемо 1%, в кінці року ми отримаємо понад 112 доларів. Тобто $ 100 x 1, 01 ^ 12 при $ 112, 68. (Це вище, тому що ми збираємося частіше.)

Безперервно складена повертає з'єднання найчастіше з усіх. Безперервне складання - це математична межа, до якої може досягати складний інтерес. Це надзвичайний випадок ускладнення, оскільки більшість відсотків нараховується щомісяця, щокварталу чи півроку.

Піврічні норми прибутку

Спочатку розглянемо потенційно заплутану умову. На ринку облігацій ми маємо на увазі дохідність еквівалентної облігації (або еквівалентну облігацію). Це означає, що якщо облігація приносить 6% на півроку, її еквівалентна дохідність облігацій становить 12%.

Зображення Джулі Банг © Інвестопедія 2019

Піврічна врожайність просто подвоюється. Це потенційно заплутано, оскільки ефективний вихід 12-відсоткової облігаційної прибутковості облігацій становить 12, 36% (тобто 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Подвоєння піврічної дохідності - це лише конвенція про іменування облігацій. Отже, якщо ми читаємо про 8% облігацій, що складаються півроку, ми припускаємо, що це стосується 4% піврічної дохідності.

Щоквартальні, місячні та щоденні норми прибутку

Тепер обговоримо більш високі частоти. Ми все ще припускаємо 12% річної ринкової процентної ставки. Відповідно до конвенцій про іменування облігацій, це передбачає 6% піврічної складової ставки. Тепер ми можемо виразити квартальну складну ставку як функцію ринкової процентної ставки.

Зображення Джулі Банг © Інвестопедія 2019

З огляду на річну ринкову ставку ( r), щоквартальна складова ставка ( r _q) задається:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ початок {вирівняний} & r_q = 4 \ зліва \\ \ кінець {вирівняний}$ Rq = 4

Так, для нашого прикладу, коли річна ринкова ставка становить 12%, квартальна складова ставка становить 11, 825%:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ початок {вирівняний} & r_q = 4 \ зліва \ конг 11.825 \% \\ \ кінець {вирівняний}$ Rq = 4≅11, 825%

Зображення Джулі Банг © Інвестопедія 2019

Аналогічна логіка стосується щомісячного складання. Щомісячна складова ставка ( r _м ) наведена тут як функція річної ринкової процентної ставки ( r):

Добова складна ставка ( d) як функція ринкової процентної ставки ( r) задається:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} r_{г} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ початок {вирівняно} r_d & = 360 \ ліворуч \\ & = 360 \ ліворуч \\ & \ конг 11, 66 \% \\ \ кінець {вирівняно}$ rd = 360 = 360≅11, 66%

Як працює безперервне складання

Зображення Джулі Банг © Інвестопедія 2019

Якщо ми збільшимо частоту з'єднання до її межі, ми продовжуємо з'єднання. Незважаючи на те, що це може не бути практичним, постійно зростаюча процентна ставка пропонує надзвичайно зручні властивості. Виявляється, безперервно складена процентна ставка задається:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} r_{c о н т i н у о у с} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ початок {вирівняний} & r_ {безперервний} = \ ln (1 + r) \ \ кінець {вирівняний}$ Rcontinuous = ln (1 + r)

Ln () - це природний журнал, і в нашому прикладі швидкість безперервно складених частот:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} r_{c о н т i н у о у с} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ початок {вирівняний} & r_ {безперервний} = \ ln (1 + 0, 12) = \ ln (1, 12) конг 11, 33 \% \\ \ кінець {вирівняний}$ Rcontinuous = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12).311, 33%

Ми дістаємось до того самого місця, приймаючи природний лог цього співвідношення: кінцеве значення, поділене на початкове значення.

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} r_{c о н т i н у о у с} = \ln (\frac{{Значення}_{Кінець}}{{Значення}_{Старт}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ початок {вирівняний} & r_ {безперервний} = \ ln \ зліва ( frac { текст {Значення} _ \ текст {Кінець}} { текст {Значення} _ \ текст {Старт}} праворуч) = \ ln \ зліва ( frac {112} {100} праворуч) cong 11.33 \% \\ \ кінець {вирівняний}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112).311, 33%

Останнє є загальним при обчисленні безперервно складеної віддачі для запасу. Наприклад, якщо запас стрибає з 10 доларів на один день до 11 доларів на наступний день, безперервно щоденно повертається щоденне повернення:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} r_{c о н т i н у о у с} = \ln (\frac{{Значення}_{Кінець}}{{Значення}_{Старт}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ початок {вирівняний} & r_ {безперервний} = \ ln \ зліва ( frac { текст {Значення} _ \ текст {Кінець}} { текст {Значення} _ \ текст {Старт}} праворуч) = \ ln \ зліва ( frac { $ 11} { $ 10} праворуч) cong 9.53 \% \\ \ кінець {вирівняно}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11).59, 53%

Що настільки великого в безперервно складеній швидкості (або поверненні), що ми позначимо r r? По-перше, його легко масштабувати вперед. З огляду на основну частку (P), наше остаточне багатство за (п) років визначається:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ш = П е^{r_{c} н} \end{matrix} \ початок {вирівняний} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ кінець {вирівняний}$ W = Perc n

Зауважимо, що e - експоненціальна функція. Наприклад, якщо ми починаємо з 100 доларів США і постійно складаємося на рівні 8% протягом трьох років, остаточне багатство дає:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ш = $ 100 е^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ початок {вирівняний} & w = \ $ 100e ^ {(0, 08) (3)} = \ $ 127, 12 \\ \ кінець {вирівняний}$ W = $ 100e (0, 08) (3) = $ 127, 12

Дисконтування до теперішньої величини (PV) є просто складним у зворотному порядку , тому теперішнє значення майбутньої величини (F), що складається безперервно, зі швидкістю ( r _c) задається:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ПВ з F, отриманих за (n) років = \frac{Ж}{е^{r_{c} н}} = Ж е^{- r_{c} н} \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {PV з F, отриманий за (n) років} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ кінець {вирівняний}$ ПВ з F, отриманих за (n) років = erc nF = Fe − rc n

Наприклад, якщо ви збираєтесь отримувати 100 доларів за три роки за 6% безперервної ставки, його теперішня вартість визначається:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ПВ = Ж е^{- r_{c} н} = ($ 100) е^{- (0.06) (3)} = $ 100 е^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0, 06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0, 18} cong \ $ 83, 53 \\ \ end {вирівняний}$ PV = Fe − rc n = ($ 100) e− (0, 06) (3) = $ 100e − 0, 18≅ $ 83, 53

Масштабування протягом кількох періодів

Зручна властивість безперервно складеної віддачі полягає в тому, що вона масштабується протягом декількох періодів. Якщо віддача за перший період становить 4%, а віддача за другий період - 3%, то дворічна віддача становить 7%. Подумайте, що ми починаємо рік зі 100 доларів, який зростає до 120 доларів наприкінці першого року, потім 150 доларів наприкінці другого року. Постійно складені прибутки становлять відповідно 18, 23% та 22, 31%.

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ ln \ зліва ( frac {120} {100} праворуч) cong 18.23 \% \\ \ кінець {вирівняний}$ Ln (100120).218, 23%

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ ln \ зліва ( frac {150} {120} праворуч) cong 22.31 \% \\ \ кінець {вирівняний}$ Ln (120150).322, 31%

Якщо їх просто скласти разом, ми отримаємо 40, 55%. Це два періоди повернення:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ ln \ зліва ( frac {150} {100} праворуч) cong 40.55 \% \\ \ кінець {вирівняний}$ Ln (100150).540, 55%

Технічно кажучи, безперервне повернення відповідає часу. Послідовність часу - це технічна вимога щодо вартості ризику (VAR). Це означає, що якщо одноперіодне повернення є нормально розподіленою випадковою змінною, ми хочемо, щоб також були розподілені також багатоперіодичні випадкові величини. Крім того, багаторазове безперервно складене повернення зазвичай розподіляється (на відміну, скажімо, від простого відсоткового повернення).

Суть

Ми можемо переформулювати річні процентні ставки у піврічні, квартальні, щомісячні або щоденні процентні ставки (або норми прибутку). Найчастішим складанням є безперервне сполучення, яке вимагає від нас використання природного журналу та експоненціальної функції, яка зазвичай використовується у фінансах завдяки своїм бажаним властивостям - вона легко масштабується протягом декількох періодів, і вона відповідає часу.

Зміст:

Піврічні норми прибутку

Щоквартальні, місячні та щоденні норми прибутку

Як працює безперервне складання

Масштабування протягом кількох періодів

Суть

Вибір редактора