Визначення лінійних відносин

Що таке лінійне співвідношення?

Лінійне відношення (або лінійна асоціація) - це статистичний термін, що використовується для опису прямолінійного зв’язку між змінною та постійною. Лінійні зв’язки можуть бути виражені або в графічному форматі, де змінна та константа з'єднані через пряму, або в математичному форматі, де незалежна змінна множиться на коефіцієнт нахилу, доданий на постійну, яка визначає залежну змінну.

Лінійне відношення може протиставлятися поліноміальним або нелінійним (кривим) відношенням.

Ключові вивезення

Лінійне відношення (або лінійна асоціація) - це статистичний термін, що використовується для опису прямолінійного зв’язку між змінною та константою. Лінійні зв’язки можуть бути виражені або в графічному форматі, або як математичне рівняння форми y = mx + b.Лінійні стосунки досить поширені в повсякденному житті.

Лінійне рівняння:

Математично лінійна залежність - це така, яка задовольняє рівнянню:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} у = м х + б \\ де: \\ м = схил \\ б = y-перехоплення \end{matrix} \ початок {вирівняний} & y = mx + b \\ & \ textbf {де:} \ & m = \ текст {нахил} \ & b = \ текст {y-перехоплення} \ \ кінець {вирівняний}$ Y = mx + десь: m = нахил = y-перехват

У цьому рівнянні "х" і "у" - це дві змінні, які пов'язані параметрами "m" і "b". Графічно y = mx + b графікується в площині xy у вигляді лінії зі нахилом "m" і y-перехоплення "b". Y-перехоплення "b" - це просто значення "y", коли x = 0. Нахил “m” обчислюється з будь-яких двох окремих точок (x ₁, y ₁) та (x ₂, y ₂) у вигляді:

Сігналы абмеркавання $м = \frac{(у_{2} - у_{1})}{(х_{2} - х_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 −x1) (y2 −y1)

Лінійні відносини

Про що говорить вам лінійний зв’язок?

Існує три набори необхідних критеріїв, яким має відповідати рівняння, щоб кваліфікувати його як лінійне: рівняння, що виражає лінійну залежність, не може складатися з більш ніж двох змінних, всі змінні рівняння повинні бути до першої потужності, а рівняння повинно бути графічним як пряма.

Лінійна функція в математиці - така, яка задовольняє властивості аддитивності та однорідності. Лінійні функції також дотримуються принципу суперпозиції, де зазначено, що чистий вихід двох або більше входів дорівнює сумі виходів окремих входів. Загальновживаний лінійний зв'язок - це кореляція, яка описує, як одна змінна змінюється лінійним способом до зміни іншої змінної.

В економетрії лінійна регресія - це часто застосовуваний метод генерування лінійних зв’язків для пояснення різних явищ. Однак не всі відносини є лінійними. Деякі дані описують відносини, які є вигнутими (наприклад, поліноміальні зв'язки), а інші дані неможливо параметризувати.

Лінійні функції

Математично подібним до лінійного відношення є поняття лінійної функції. В одній змінній лінійну функцію можна записати так:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} f (х) = м х + б \\ де: \\ м = схил \\ б = y-перехоплення \end{matrix} \ початок {вирівняний} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {де:} \ & m = \ текст {нахил} \ & b = \ текст {y-перехоплення} \ \ кінець {вирівняний}$ F (x) = mx + десь: m = нахил = y-перехоплення

Це ідентично наведеній формулі для лінійного співвідношення, за винятком того, що замість y використовується символ f (x) . Ця підстановка зроблена для того, щоб виділити значення того, що x відображено у f (x), тоді як використання y просто вказує, що x і y - це дві величини, пов'язані A і B.

При дослідженні лінійної алгебри властивості лінійних функцій широко вивчені та зроблені суворо. З огляду на скалярний C та два вектори A і B з R ^N, найбільш загальне визначення лінійної функції говорить про те, що: $c \times f (А + Б) = c \times f (А) + c \times f (Б) c \ раз f (A + B) = c \ раз f (A) + c \ раз f (B)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Приклади лінійних відносин

Приклад 1

Лінійні відносини досить поширені в повсякденному житті. Візьмемо для прикладу поняття швидкості. Формула, яку ми використовуємо для обчислення швидкості, така: швидкість швидкості - це відстань, пройдена за час. Якщо хтось у білому мікроавтобусі Chrysler Town and Country подорожує між Сакраменто та Мерісвіллем у Каліфорнії, 41, 3 милі простягнуться на шосе 99, а повне подорож закінчиться за 40 хвилин, вона буде подорожувати трохи нижче 60 миль / год.

Хоча в цьому рівнянні є більше двох змінних, воно все ще є лінійним рівнянням, оскільки одна із змінних завжди буде постійною (відстань).

Приклад 2

Лінійне співвідношення також можна знайти в рівнянні відстані = швидкість х час. Оскільки відстань є позитивним числом (у більшості випадків), це лінійне співвідношення виражатиметься у правому верхньому квадранті графіка з віссю X та Y.

Якщо велосипед, зроблений для двох, їхав зі швидкістю 30 миль на годину протягом 20 годин, вершник в кінцевому підсумку подорожує 600 миль. Графічно зображена з відстанню на осі Y та часом на осі X, лінія, що відстежує відстань за ці 20 годин, буде проходити прямо з конвергенції осі X і Y.

Приклад 3

Для того, щоб перетворити Цельсій у Фаренгейт, або Фаренгейт у Цельсій, ви використовуєте наведені нижче рівняння. Ці рівняння виражають лінійну залежність на графіку:

Сігналы абмеркавання $° С = \frac{5}{9} (° Ж - 32) \ ступінь C = \ frac {5} {9} ( ступінь F - 32)$ ° C = 95 (° F − 32)

Сігналы абмеркавання $° Ж = \frac{9}{5} (° С + 32) \ ступінь F = \ frac {9} {5} ( ступінь C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

Приклад 4

Припустимо, що незалежна змінна - це розмір будинку (вимірюється квадратними метрами), яка визначає ринкову ціну будинку (залежна змінна), коли вона множиться на коефіцієнт нахилу 207, 65 і потім додається до постійного терміну 10 500 доларів США. Якщо квадратна площа будинку становить 1250, то ринкова вартість будинку становить (1, 250 х 207, 65) + 10 500 доларів = 270 062, 50 долара. Графічно та математично це виглядає так:

У цьому прикладі зі збільшенням розміру будинку ринкова вартість будинку збільшується лінійно.

Деякі лінійні зв’язки між двома об'єктами можна назвати "константою пропорційності". Ці відносини представляються як

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Y = к \times Х \\ де: \\ к = постійний \\ Y, Х = пропорційні величини \end{matrix} \ початок {вирівняний} & Y = k \ раз X \\ & \ textbf {де:} \ & k = \ текст {константа} \ & Y, X = \ текст {пропорційні величини} \ \ кінець {вирівняні}$ Y = k × X де: k = константа Y, X = пропорційні величини

При аналізі даних поведінки рідко існує досконала лінійна залежність між змінними. Однак лінії трендів можна знайти в даних, які утворюють приблизну версію лінійних співвідношень. Наприклад, ви можете розглянути продаж морозива та кількість відвідувань лікарні як дві змінні на графіку та знайти лінійну залежність між ними.

Зміст: