Розуміння моделі ціноутворення біноміальних варіантів

Визначення цін на акції

Домовитися про точне ціноутворення на будь-який торгуваний актив є складним завданням - тому ціни на акції постійно змінюються. Насправді компанії навряд чи змінюють свою оцінку щодня, але ціни на акції та оцінки змінюються майже щосекунди. Ця складність у досягненні консенсусу щодо правильної ціни на будь-який торгуваний актив призводить до короткочасних арбітражних можливостей.

Але багато успішних інвестицій зводиться до простого питання сучасної оцінки - яка сьогодні правильна ціна для очікуваної майбутньої виплати?

Оцінка біномінальних варіантів

На конкурентному ринку, щоб уникнути арбітражних можливостей, активи з однаковою структурою виплат повинні мати однакову ціну. Оцінка варіантів є складним завданням, і коливання цін призводить до арбітражних можливостей. Black-Scholes залишається однією з найпопулярніших моделей, що застосовуються для ціноутворення, але має обмеження.

Модель ціноутворення біноміальних варіантів - ще один популярний метод, який використовується для варіантів ціноутворення.

Приклади

Припустимо, що для конкретної акції існує опція дзвінка з поточною ринковою ціною 100 доларів. Варіант "гроші" (банкомат) має страйкову ціну 100 доларів США з часом закінчення протягом одного року. Є два торговця, Пітер і Паула, які обидва згодні, що ціна акцій або зросте до 110 доларів, або впаде до 90 доларів за один рік.

Вони погоджуються з очікуваними рівнями цін за певний період часу, але не згодні з вірогідністю руху вгору або вниз. Пітер вважає, що ймовірність того, що ціна акцій збільшиться до $ 110, становить 60%, тоді як Паула вважає, що це 40%.

Виходячи з цього, хто буде готовий платити більше за опцію дзвінка? Можливо, Пітер, оскільки він очікує великої ймовірності підйому вгору.

Розрахунки біномінальних варіантів

Два активи, від яких залежить оцінка, є опціоном виклику та базовим запасом. Серед учасників існує домовленість, що базова ціна акцій може переміститися з поточних 100 до 110 або 90 доларів за один рік, і немає інших можливих цінових зрушень.

У світі, що не належить до арбітражу, якщо вам доведеться створити портфель, що складається з цих двох активів, опціону виклику та базових акцій, таким чином, що незалежно від того, куди йде базова ціна - 110 доларів США або 90 доларів США, чистий прибуток у портфелі завжди залишається колишнім. Припустимо, ви купуєте "d" акції базових та коротких варіантів одного виклику для створення цього портфоліо.

Якщо ціна перейде до $ 110, ваші акції будуть коштувати $ 110 * d, і ви втратите 10 доларів при виплаті за короткий виклик. Чиста вартість вашого портфеля становитиме (110d - 10).

Якщо ціна знизиться до $ 90, ваші акції будуть коштувати $ 90 * d, а опція втратить чинність. Чиста вартість вашого портфеля складе (90d).

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} год (г) - м = л (г) \\ де: \\ год = Найвища потенційна базова ціна \\ г = Кількість базових акцій \\ м = Гроші, втрачені при погашенні коротких дзвінків \\ л = Найнижча потенційна базова ціна \end{matrix} \ початок {вирівняний} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {де:} \ & h = \ текст {Найвища потенційна базова ціна} \ & d = \ текст {Кількість базових акцій} \ & m = \ текст {Гроші, втрачені на виплату за короткий виклик} \ & l = \ текст {Найнижча потенційна базова ціна} \ \ кінець {вирівняний}$ H (d) −m = l (d), де: h = найвища потенційна базова ціна = кількість базових акційm = гроші, втрачені на виплату за короткий виклик = найнижча потенційна базова ціна

Таким чином, якщо ви купуєте половину акцій, припускаючи, що можливі часткові покупки, вам вдасться створити портфель, щоб його вартість залишалася однаковою в обох можливих станах протягом заданого періоду року.

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} 110 г - 10 = 90 г \\ г = \frac{1}{2} \end{matrix} \ початок {вирівняний} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ кінець {вирівняний}$ 110d − 10 = 90dd = 21

Ця вартість портфоліо, зазначена (90d) або (110d - 10) = 45, знаходиться на рік за лінією. Для обчислення його теперішньої вартості її можна дисконтувати за безризиковою нормою прибутку (припускаючи 5%).

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Поточна вартість & = 90 г \times е^{(- 5 % \times 1 Рік)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ початок {вирівняний} текст {теперішнє значення} & = 90d \ разів е ^ {(-5 \% \ раз 1 \ текст {рік})} \ & = 45 \ разів 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ кінець {вирівняний}$ Поточне значення = 90d × e (−5% × 1 рік) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Оскільки в даний час портфель складається з ½ частки базових акцій (з ринковою ціною 100 доларів) та одного короткого дзвінка, він повинен дорівнювати теперішній вартості.

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Ціна дзвінка = $ 42.85 \\ Ціна дзвінка = $ 7.14, тобто ціна дзвінка сьогодні \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ frac {1} {2} раз 100 - 1 \ раз \ текст {Вартість дзвінка} = \ 42, 85 $ \\ & \ текст {Вартість дзвінка} = \ 7, 14 $ \ текст {, тобто ціна дзвінка від сьогодні} \ \ кінець {вирівняний}$ 21 × 100−1 × Ціна дзвінка = $ 42, 85Ціна дзвінка = $ 7, 14, тобто ціна дзвінка сьогодні

Оскільки це ґрунтується на припущенні, що вартість портфеля залишається незмінною незалежно від того, в який бік йде основна ціна, ймовірність руху вгору або вниз не грає ніякої ролі. Портфель залишається безризиковим, незалежно від основних цінових рухів.

В обох випадках (припускається, що вони перейдуть до $ 110 і вниз до $ 90), ваш портфель нейтральний до ризику і отримує безризикову норму прибутку.

Отже, обидва торговці, Пітер та Паула, будуть готові заплатити ті ж 7, 14 доларів за цей варіант виклику, незважаючи на їхнє різне уявлення про ймовірність збільшення курсу (60% та 40%). Їх індивідуально сприйняті ймовірності не мають значення в оцінці варіантів.

Якщо припустити, що індивідуальні ймовірності мають значення, можливо, арбітражні можливості представили себе. У реальному світі такі арбітражні можливості існують із незначними ціновими різницями та зникають у короткий термін.

Але де в усіх цих розрахунках сильно зменшена мінливість, важливий і чутливий фактор, який впливає на ціноутворення опціонів?

Нестабільність вже включена до характеру визначення проблеми. Якщо припустити два (і лише два - звідси назва "двочленний") рівень цін ($ 110 і $ 90), мінливість в цьому припущенні неявна і включається автоматично (10% в будь-якому випадку в цьому прикладі).

Чорношкірі

Але чи правильний цей підхід і цілком узгоджується із загальновживаними цінами на Чорношкірі? Результати калькулятора параметрів (люб’язно надано OIC) тісно відповідають обчисленому значенню:

На жаль, реальний світ не такий простий, як "лише два штати". Акція може досягти декількох рівнів цін до закінчення терміну дії.

Чи можливо включити всі ці кілька рівнів у біноміальну модель ціноутворення, яка обмежена лише двома рівнями? Так, це дуже можливо, але для розуміння потрібна проста проста математика.

Проста математика

Для узагальнення цієї проблеми та рішення:

"X" - це поточна ринкова ціна акції, а "X * u" і "X * d" - це майбутні ціни на рух вгору і вниз "t" через роки. Коефіцієнт "u" буде більшим, ніж один, оскільки він вказує на рух вгору, а "d" буде лежати між нулем і одиницею. Для наведеного вище прикладу u = 1, 1 і d = 0, 9.

Окупність опціону виклику - "P _up " та "P _dn " для руху вгору та вниз на момент закінчення.

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ВУМ = с \times Х \times у - П_{вгору} \\ де: \\ ВУМ = Значення портфеля в разі руху вгору \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {VUM} = s \ раз X \ раз u - P_ \ текст {up} \ & \ textbf {де:} \ & \ текст {VUM} = \ текст {Значення портфоліо у випадку переміщення вгору} \ \ end {align}$ VUM = s × X × u − Pup де: VUM = Значення портфоліо у разі руху вгору

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} VDM = с \times Х \times г - П_{вниз} \\ де: \\ VDM = Значення портфеля у разі зниження курсу \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {VDM} = s \ раз X \ раз d - P_ \ текст {вниз} \ & \ textbf {де:} \ & \ текст {VDM} = \ текст {Значення портфоліо у випадку руху вниз} \ \ end {порівнюється}$ VDM = s × X × d − Pdown, де: VDM = Значення портфеля у разі руху вниз

Для аналогічної оцінки в будь-якому випадку зміни ціни:

Сігналы абмеркавання $с \times Х \times у - П_{вгору} = с \times Х \times г - П_{вниз} s \ раз X \ раз u - P_ \ текст {up} = s \ раз X \ раз d - P_ \ текст {вниз}$ s × X × u − Pup = s × X × d − Pdown

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} с & = \frac{П_{вгору} - П_{вниз}}{Х \times (у - г)} \\ = Кількість акцій, за якими можна придбати \\ безризиковий портфель \end{matrix} \ початок {вирівняно} s & = \ frac {P_ \ текст {вгору} - P_ \ текст {вниз}} {X \ раз (u - d)} \ & = \ текст {Кількість акцій, які потрібно придбати за} \ & \ phantom {=} текст {безризиковий портфель} \ \ кінець {вирівняний}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = Кількість акцій, придбаних за = безризиковий портфель

Майбутня вартість портфеля на кінець "t" років буде:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} У випадку руху & = с \times Х \times у - П_{вгору} \\ = \frac{П_{вгору} - П_{вниз}}{у - г} \times у - П_{вгору} \end{matrix} \ початок {вирівняний} текст {У разі переміщення вгору} & = s \ раз X \ раз u - P_ \ текст {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {вниз} } {u - d} раз u - P_ \ текст {вгору} \ \ кінець {вирівняно}$ У випадку руху вгору = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} У випадку "Дауна" & = с \times Х \times г - П_{вниз} \\ = \frac{П_{вгору} - П_{вниз}}{у - г} \times г - П_{вниз} \end{matrix} \ початок {вирівняний} текст {У разі руху вниз} & = s \ раз X \ раз d - P_ \ текст {вниз} \ & = \ frac {P_ \ текст {вгору} - P_ \ текст {вниз} } {u - d} раз d - P_ \ текст {вниз} \ \ кінець {вирівняно}$ У випадку переходу вниз = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Сучасну вартість можна отримати, дисконтуючи її з безризиковою нормою прибутку:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ПВ = е (- r т) \times \\ де: \\ ПВ = Значення сучасності \\ r = Норма прибутку \\ т = Час, у роках \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {PV} = e (-rt) раз \ ліворуч \\ & \ textbf {де:} \ & \ текст {PV} = \ текст {значення сучасності} \ & r = \ текст {Норма прибутку} \ & t = \ текст {Час, у роках} \ \ кінець {вирівняно}$ PV = e (−rt) × де: PV = оцінка сучасності = коефіцієнт повернення = час, у роках

Це повинно відповідати холдингу портфеля акцій "s" за ціною X, а значення короткого дзвінка "c" (сучасне проведення (s * X - c) має прирівнюватися до цього розрахунку.) Рішення для "c" нарешті дає це як:

Примітка: Якщо премія за виклик скорочена, це має бути доповненням до портфеля, а не відніманням.

Сігналы абмеркавання $c = \frac{е (- r т)}{у - г} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} раз$ c = u − de (−rt) ×

Ще один спосіб написати рівняння - переставити його:

Приймаючи "q" як:

Сігналы абмеркавання $q = \frac{е (- r т) - г}{у - г} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

Тоді рівняння стає:

Сігналы абмеркавання $c = е (- r т) \times (q \times П_{вгору} + (1 - q) \times П_{вниз}) c = e (-rt) раз (q \ раз P_ \ текст {вгору} + (1 - q) раз P_ \ текст {вниз})$ c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Впорядкування рівняння з точки зору "q" запропонувало нову перспективу.

Тепер ви можете інтерпретувати "q" як ймовірність переміщення вгору нижнього (як "q" асоціюється з P _вгору і "1-q" асоціюється з P _dn). Загалом рівняння являє собою ціну сьогоднішнього опціону, дисконтовану вартість його погашення після закінчення терміну дії.

Це "Q" - різне

Чим ця ймовірність "q" відрізняється від ймовірності руху вгору або вниз нижнього рівня?

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} VSP = q \times Х \times у + (1 - q) \times Х \times г \\ де: \\ VSP = Значення ціни акцій у часі т \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {VSP} = q \ раз X \ раз u + (1 - q) раз X \ раз d \\ & \ textbf {де:} \ & \ текст {VSP} = \ текст {Значення ціни акцій за час} t \\ \ кінець {вирівняно}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × десь: VSP = величина ціни акцій за час t

Підміняючи значення "q" і переставляючи, ціна акцій в момент "t" доходить до:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Ціна акцій = е (r т) \times Х \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {Ціна акцій} = e (rt) раз X \\ \ кінець {вирівняно}$ Ціна акцій = e (rt) × X

У цьому передбачуваному світі двох держав ціна акцій просто зростає безризиковою нормою прибутку, точно так само, як і безризиковий актив, і, отже, залишається незалежною від будь-якого ризику. Інвестори байдуже ставляться до ризику за цією моделлю, тому це являє собою модель, яка не є ризиком.

Ймовірності "q" та "(1-q)" відомі як імовірності, що нейтральні до ризику, а метод оцінки відомий як модель оцінки нейтральної до ризику.

У прикладі сценарію є одна важлива вимога - майбутня структура виплат необхідна з точністю (рівень $ 110 і $ 90). У реальному житті така ясність щодо ступеневих рівнів цін неможлива; швидше ціна рухається випадковим чином і може встановлюватися на декількох рівнях.

Щоб розширити приклад далі, припустимо, що можливі двоступеневі рівні цін. Ми знаємо остаточні виплати другого кроку і нам потрібно оцінити варіант сьогодні (на початковому кроці):

Працюючи назад, проміжне оцінювання першого кроку (при t = 1) можна здійснити, використовуючи остаточні виплати на другому кроці (t = 2), потім використовуючи обчислену оцінку першого кроку (t = 1), сучасну оцінку (t = 0) можна досягти за допомогою цих розрахунків.

Щоб отримати цінові опціони під номером два, використовуються виплати в чотири та п'ять. Для отримання ціни на номер три використовуються виплати в п'ять і шість. Нарешті, розраховані виплати в два та три використовуються для отримання цін на номер один.

Зверніть увагу, що цей приклад передбачає однаковий коефіцієнт для руху вгору (і вниз) на обох кроках - u і d застосовуються складно.

Робочий приклад

Припустимо, опція пут із ціною страйку в 110 доларів в даний час торгується на рівні 100 доларів і закінчується через один рік. Щорічна безризикова ставка становить 5%. Очікується, що ціна зросте на 20% і знизиться на 15% кожні півроку.

Тут u = 1, 2 і d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

використовуючи вищевикладену формулу

Сігналы абмеркавання $q = \frac{е (- r т) - г}{у - г} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

отримаємо q = 0, 35802832

значення опції put у точці 2, Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} p_{2} = е (- r т) \times (p \times П_{підняття} + (1 - q) П_{updn}) \\ де: \\ p = Ціна опціону "пут" \end{matrix} \ початок {вирівняно} & p_2 = e (-rt) раз (p \ раз P_ \ текст {upup} + (1 - q) P_ \ текст {updn}) \ & \ textbf {де:} \ & p = \ текст {Ціна опції пут}} \ \ кінець {вирівняний}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) де: p = Ціна опції put

За умови _{резервного копіювання} базовим буде = 100 * 1, 2 * 1, 2 = $ 144, що веде до P _up = нуль

При _умові P _updn базовим буде = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 $, що веде до P _updn = 8 $

При _умові P _dndn базовим буде = 100 * 0, 85 * 0, 85 = $ 72, 25, що веде до P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Аналогічно, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

Сігналы абмеркавання $p_{1} = е (- r т) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) раз (q \ раз p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Отже, значення опції put, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 дол.

Аналогічно, біноміальні моделі дозволяють розбити всю тривалість опціону для подальшого вдосконалення кількох кроків та рівнів. Використовуючи комп’ютерні програми або електронні таблиці, ви можете одразу робити крок назад, щоб отримати теперішнє значення потрібної опції.

Ще один приклад

Припустимо, опція поставлення європейського типу із закінченням дев'яти місяців, ціна страйку - 12 доларів США та поточна базова ціна - 10 доларів. Припустимо безризикову ставку 5% за всі періоди. Припустимо, кожні три місяці базова ціна може змінюватися на 20% вгору або вниз, що дає нам u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 і триступеневе двочленне дерево.

Червоний колір вказує на основні ціни, а синій - на користь опціонів.

Небезпечна ймовірність "q" обчислює до 0, 531446.

Використовуючи наведене вище значення "q" та значення окупності при t = дев'ять місяців, відповідні значення при t = шість місяців обчислюються як:

Далі, використовуючи ці обчислені значення при t = 6, значення при t = 3, а при t = 0 є:

Це дає сьогоднішню вартість пут-опціону в розмірі 2, 18 дол. США, що досить близьке до того, що ви могли б зробити для обчислень за допомогою моделі Black-Scholes (2, 30 долара).

Суть

Хоча використання комп’ютерних програм може спростити ці інтенсивні розрахунки, прогнозування майбутніх цін залишається головним обмеженням біноміальних моделей щодо опціонного ціноутворення. Чим точніші інтервали часу, тим складніше прогнозувати виплати в кінці кожного періоду з високою точністю.

Однак, гнучкість до включення змін, що очікуються в різні періоди, є плюсом, що робить його придатним для ціноутворення американських опціонів, включаючи оцінки на ранній основі.

Значення, обчислені за допомогою біноміальної моделі, тісно відповідають значенням, обчисленим з інших часто використовуваних моделей, таких як Black-Scholes, що вказує на корисність та точність біноміальних моделей для ціноутворення опціону. Моделі біноміального ціноутворення можуть бути розроблені відповідно до уподобань торговця і можуть працювати як альтернатива Black-Scholes.

Зміст: