Що таке теорема Байєса?
Теорема Байєса, названа на честь англійського математика 18 століття Томаса Байєса, є математичною формулою для визначення умовної ймовірності. Теорема надає спосіб переглянути існуючі прогнози чи теорії (оновлення ймовірностей), отримавши нові або додаткові докази. У фінансах теорему Байєса можна використовувати для оцінки ризику позики грошей потенційним позичальникам.
Теорему Байєса також називають правилом Байєса або законом Байєса і є основою галузі байєсівської статистики.
Ключові вивезення
- Теорема Байеса дозволяє оновити передбачувані ймовірності події, включивши нову інформацію. Теорема Бейса була названа на честь математика 18 століття Томаса Байеса. Він часто використовується у фінансах для оновлення оцінки ризиків.
Формула теореми Байєса є
Сігналы абмеркавання P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A), де: P (A) = ймовірність виникнення A (B) = Імовірність виникнення BP (A∣B) = Ймовірність виникнення A заданого ВР (B∣A) = Ймовірність B заданого AP (A⋂B)) = Ймовірність виникнення A і B
Пояснена теорема Байєса
Застосування теореми широко поширене і не обмежується фінансовою сферою. Як приклад, теорема Байєса може бути використана для визначення точності результатів медичних тестів, беручи до уваги, наскільки вірогідною є наявність у будь-якої людини захворювання та загальної точності тесту. Теорема Байєса спирається на включення попередніх розподілів ймовірностей, щоб генерувати задні ймовірності. Попередня ймовірність, згідно з байєсівським статистичним висновком, - це ймовірність події до збору нових даних. Це найкраща раціональна оцінка ймовірності результату на основі поточних знань перед проведенням експерименту. Задня ймовірність - це переглянута ймовірність події, яка відбудеться після врахування нової інформації. Задня ймовірність обчислюється шляхом оновлення попередньої ймовірності за допомогою теореми Байєса. У статистичному відношенні задня ймовірність - це ймовірність події А, що відбулася, враховуючи, що відбулася подія В.
Таким чином, теорема Байєса дає ймовірність події на основі нової інформації, яка пов'язана або може бути пов'язана з цією подією. Формула також може бути використана для того, щоб побачити, як на ймовірність виникнення події впливає гіпотетична нова інформація, якщо припустити, що нова інформація виявиться правдивою. Наприклад, скажімо, що одна картка складається з цілої колоди з 52 карт. Ймовірність того, що карта є королем, дорівнює 4, поділеній на 52, що дорівнює 1/13 або приблизно 7, 69%. Пам’ятайте, що на палубі є 4 королі. Тепер, припустимо, виявлено, що вибрана карта є обличчям. Ймовірність того, що вибрана карта є королем, враховуючи, що це особа, дорівнює 4, поділеній на 12, або приблизно 33, 3%, оскільки в колоді є 12 особових карт.
Виведення формули теореми Байеса з прикладом
Теорема Байєса випливає просто з аксіом умовної ймовірності. Умовна ймовірність - це ймовірність події, враховуючи, що сталася інша подія. Наприклад, просте питання щодо ймовірності може запитати: "Яка ймовірність падіння ціни акцій Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN)?" Умовна ймовірність робить це питання на крок далі, запитуючи: "Яка ймовірність падіння ціни акцій AMZN, враховуючи, що індекс Dow Jones Industrial Average (DJIA) впав раніше?"
Умовна ймовірність A з урахуванням того, що B сталося, може бути виражена як:
Якщо A: "AMZN ціна падає", то P (AMZN) - це ймовірність падіння AMZN; а B: "DJIA вже зникла", а P (DJIA) - це ймовірність того, що DJIA впала; тоді вираз умовної ймовірності звучить як "ймовірність того, що AMZN падає при зниженні DJIA, дорівнює ймовірності зниження цін AMZN, а DJIA зменшується над ймовірністю зниження індексу DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN і DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN та DJIA) - це ймовірність виникнення A і B. Це також те саме, що ймовірність виникнення A помножена на ймовірність того, що B виникає, враховуючи, що випадки виникнення A, виражені P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Той факт, що ці два вирази рівні, призводить до теореми Байєса, яка записується як:
якщо P (AMZN і DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
тоді P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Де P (AMZN) і P (DJIA) - це ймовірність падіння Амазонки та Дау-Джонса, не враховуючи один одного.
Формула пояснює взаємозв'язок між ймовірністю гіпотези перед тим, як побачити докази того, що P (AMZN), та ймовірністю гіпотези після отримання доказів P (AMZN | DJIA), з урахуванням гіпотези щодо Amazon, що дав докази в Доу.
Числовий приклад теореми Байєса
Як числовий приклад, уявіть, що на 98% точність є тест на наркотики, тобто 98% часу він показує справжній позитивний результат для тих, хто вживає наркотик, і 98% часу показує справжній негативний результат для нежитців препарат. Далі, припустимо, 0, 5% людей вживають препарат. Якщо людина вибрала випадковими тестами позитивні для лікарського засобу, можна зробити наступний розрахунок, щоб побачити, чи є ймовірність того, що людина насправді є користувачем препарату.
(0, 98 х 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Теорема Байєса показує, що навіть якщо людина випробувала позитивний результат у цьому сценарії, це насправді набагато більше шансів, що людина не є користувачем наркотиків.
