Розуміння часової вартості грошей

Вітаємо !!! Ви виграли грошовий приз! У вас є два варіанти оплати: A: Отримайте 10 000 доларів зараз або B: Отримайте 10 000 доларів за три роки. Який варіант ви обрали б?

Яка цінність грошей у часі?

Якщо ви схожі на більшість людей, ви б вирішили зараз отримати 10 000 доларів. Адже три роки - це довго чекати. Чому будь-яка раціональна людина відкладає платіж у майбутнє, коли він чи вона можуть мати однакову суму грошей зараз? Для більшості з нас брати гроші в даний час - просто інстинктивно. Отже, на самому базовому рівні часова цінність грошей демонструє, що при рівних ситуаціях, здається, краще мати гроші зараз, а не пізніше.

Але чому це? Рахунок в 100 доларів має те саме значення, що і законопроект у 100 доларів за рік, чи не так? Насправді, хоча рахунок є тим самим, ви можете зробити набагато більше грошей, якщо у вас є зараз, тому що з часом ви можете заробити більше відсотків на своїх грошах.

Повернення до нашого прикладу: отримуючи сьогодні 10 000 доларів, ви готові збільшити майбутні значення своїх грошей, інвестуючи та отримуючи відсотки протягом певного періоду часу. У варіанті B у вас немає часу на вашому боці, і оплата, отримана за три роки, буде вашою майбутньою вартістю. Для ілюстрації ми запропонували часову шкалу:

Основи майбутнього значення

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} $ 10, 000 \times 0.045 = $ 450 \end{matrix} \ початок {вирівняно} & \ 10 000 $ \ раз 0, 045 = \ $ 450 \\ \ кінець {вирівняно}$ $ 10 000 × 0, 045 = 450 доларів

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} $ 450 + $ 10, 000 = $ 10, 450 \end{matrix} \ початок {вирівняно} & \ 450 $ + \ 10 000 $ = \ $ 10 450 \\ \ кінець {вирівняно}$ 450 $ + 10 000 $ = 10 450 $

Ви також можете розрахувати загальну суму однорічної інвестиції за допомогою простого маніпулювання вищевказаним рівнянням:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ОЕ = ($ 10, 000 \times 0.045) + $ 10, 000 = $ 10, 450 \\ де: \\ ОЕ = Оригінальне рівняння \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {OE} = ( $ 10 000 \ разів 0, 045) + \ $ 10 000 = \ 10, 450 \\ & \ textbf {де:} \ & \ текст {OE} = \ текст {Оригінальне рівняння} \ \ кінець {вирівняний}$ OE = (10 000 × 0, 045) + 10 000 $ = 10 450 $ де: OE = Оригінальне рівняння

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Маніпуляція = $ 10, 000 \times = $ 10, 450 \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {Маніпуляція} = \ 10 000 $ \ раз = \ $ 10 450 \\ \ кінець {вирівняно}$ Маніпуляція = $ 10 000 × = 10 450 $

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Підсумкове рівняння = $ 10, 000 \times (0.045 + 1) = $ 10, 450 \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {Остаточне рівняння} = \ $ 10 000 \ разів (0, 045 + 1) = \ $ 10, 450 \\ \ кінець {вирівняно}$ Підсумкове рівняння = $ 10 000 × (0, 045 + 1) = 10 450 $

Вище маніпульоване рівняння - це просто вилучення аналогічної змінної $ 10000 (основна сума) шляхом ділення всього початкового рівняння на 10000 доларів.

Якщо 10, 450 доларів США, які залишилися на вашому інвестиційному рахунку наприкінці першого року, залишаються недоторканими, і ви інвестували його на 4, 5% ще один рік, скільки б у вас було? Щоб обчислити це, ви взяли б $ 10 450 і помножили його ще раз на 1, 045 (0, 045 +1). Після закінчення двох років у вас було б 10 920, 25 доларів.

Розрахунок майбутньої вартості

Отже, наведений вище розрахунок еквівалентний наступному рівнянню:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Майбутнє значення = $ 10, 000 \times (1 + 0.045) \times (1 + 0.045) \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {Майбутнє значення} = \ $ 10 000 \ разів (1 + 0, 045) разів (1 + 0, 045) \ \ кінець {вирівняно}$ Майбутнє значення = 10 000 × × 1 (0, 05) × (1 + 0, 045)

Подумайте про клас математики та правило експонентів, де зазначено, що множення подібних доданків еквівалентно додаванню їхніх експонентів. У наведеному вище рівнянні два подібних доданки є (1+ 0, 045), а показник на кожне дорівнює 1. Отже, рівняння можна представити у вигляді наступного:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Майбутнє значення = $ 10, 000 \times (1 + 0.045)^{2} \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {Майбутнє значення} = \ $ 10 000 \ разів (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ кінець {вирівняно}$ Майбутня цінність = 10 000 × × 1 (0, 05) 2

Ми можемо бачити, що показник дорівнює кількості років, за які гроші заробляють відсотки на інвестиції. Отже, рівняння для обчислення трирічної майбутньої вартості інвестиції виглядатиме так:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Майбутнє значення = $ 10, 000 \times (1 + 0.045)^{3} \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {Майбутнє значення} = \ $ 10 000 \ разів (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ кінець {вирівняно}$ Майбутня цінність = 10 000 $ × (1 + 0, 045) 3

Однак нам не потрібно продовжувати обчислювати майбутні значення після першого року, потім другого року, потім третього року тощо. Ви можете все це зрозуміти відразу, так би мовити. Якщо ви знаєте теперішню суму грошей, яку ви маєте вкласти, її коефіцієнт прибутковості та скільки років ви хотіли б утримувати цю інвестицію, ви можете обчислити майбутню вартість цієї суми. Це робиться з рівнянням:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} FV = ПВ \times (1 + i)^{н} \\ де: \\ FV = Майбутнє значення \\ ПВ = Теперішня вартість (початкова сума грошей) \\ i = Процентна ставка за період \\ н = Кількість періодів \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {FV} = \ текст {PV} раз (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {де:} \ & \ текст {FV} = \ текст {Майбутнє значення} \ & \ текст {PV} = \ текст {Сучасна вартість (початкова сума грошей)} \ & i = \ текст {Процентна ставка за період} \ & n = \ текст {Кількість періодів} \ \ кінець {вирівняно }$ FV = PV × (1 + i) ніде: FV = Майбутнє значенняPV = Теперішня вартість (початкова сума грошей) i = Процентна ставка за періодn = Кількість періодів

Основи теперішнього значення

Щоб знайти теперішню вартість 10 000 доларів, які ви отримаєте в майбутньому, вам потрібно зробити вигляд, що 10 000 доларів - це загальна майбутня вартість суми, яку ви сьогодні вклали. Іншими словами, щоб знайти теперішню вартість майбутніх 10 000 доларів, нам потрібно з’ясувати, скільки б нам довелося сьогодні інвестувати, щоб отримати ці 10 000 доларів за один рік.

Для підрахунку теперішньої вартості або суми, яку ми мали б сьогодні інвестувати, ви повинні відняти (гіпотетичні) накопичені відсотки від 10000 доларів. Щоб досягти цього, ми можемо знизити майбутню суму платежу (10 000 доларів США) за процентною ставкою за період. По суті, все, що ви робите, - це перегрупування рівняння майбутнього значення вище, щоб ви могли вирішити для теперішнього значення (PV). Вищенаведене рівняння майбутнього значення можна переписати так:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ПВ = \frac{FV}{(1 + i)^{н}} \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {PV} = \ frac { текст {FV}} {(1 + i) ^ n} \ \ кінець {вирівняний}$ PV = (1 + i) nFV

Альтернативним рівнянням буде:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ПВ = FV \times (1 + i)^{- н} \\ де: \\ ПВ = Теперішня вартість (початкова сума грошей) \\ FV = Майбутнє значення \\ i = Процентна ставка за період \\ н = Кількість періодів \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {PV} = \ текст {FV} раз (1 + i) ^ {- n} \ & \ textbf {де:} \ & \ текст {PV} = \ текст { Теперішня вартість (початкова сума грошей)} \ & \ текст {FV} = \ текст {Майбутнє значення} \ & i = \ текст {Процентна ставка за період} \ & n = \ текст {Кількість періодів} \ \ кінець {вирівняний}$ PV = FV × (1 + i) - де-небудь: PV = теперішня вартість (початкова сума грошей) FV = майбутня вартістьi = процентна ставка за періодn = кількість періодів

Розрахунок теперішньої вартості

Давайте підемо назад від запропонованих Варіантом 10 000 доларів США. Пам'ятайте, що 10 000 доларів, отримані за три роки, насправді такі ж, як майбутня вартість інвестицій. Якби у нас був рік, перш ніж отримати гроші, ми знизили б виплату за рік. Використовуючи нашу формулу теперішнього значення (версія 2), при поточному дворічному оцінці теперішня вартість 10 000 доларів США, що надійде за один рік, становитиме 10 000 доларів x (1 +.045) ^-1 = 9569, 38 доларів.

Зауважимо, що якби сьогодні ми були на рівні одного року, зазначені вище $ 9, 569.38 вважали б майбутнім значенням наших інвестицій через рік.

Продовжуючи, наприкінці першого року ми очікували б отримати плату в розмірі 10 000 доларів протягом двох років. При процентній ставці 4, 5% розрахунок за теперішньою вартістю 10 000 доларів США, що очікується за два роки, становитиме 10 000 доларів x (1 +.045) ^-2 = 9157, 30 доларів.

Звичайно, через правило експонентів нам не доведеться щорічно обчислювати майбутню вартість інвестицій, відраховуючи інвестиції в 10 000 доларів на третій рік. Ми можемо скласти рівняння більш стисло і використовувати $ 10 000 як FV. Отже, ось як ви можете обчислити сьогоднішню вартість 10 000 доларів, очікувану від трирічних інвестицій із заробітком 4, 5%:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} $ 8, 762.97 = $ 10, 000 \times (1 + . 045)^{- 3} \end{matrix} \ початок {вирівняно} & \ $ 8, 762.97 = \ $ 10 000 \ разів (1 +.045) ^ {- 3} \ \ кінець {вирівняно}$ $ 8, 762, 97 = $ 10 000 × (1 +.045) −3

Тож теперішня вартість майбутнього платежу в розмірі 10 000 доларів сьогодні коштує 8 762, 97 доларів, якщо відсоткові ставки становлять 4, 5% на рік. Іншими словами, вибір Варіанту Б - це те, що зараз потрібно взяти 8 762, 97 дол. США, а потім інвестувати його протягом трьох років. Наведені вище рівняння ілюструють, що варіант A кращий не тільки тому, що він пропонує вам гроші зараз, а й тому, що він пропонує вам $ 1, 237, 03 ($ 10 000 - $ 8 762, 97) більше готівкою! Крім того, якщо ви інвестуєте 10 000 доларів, які ви отримуєте від Варіанту А, ваш вибір надає вам майбутнє значення, яке на 1411, 66 долара (11 411, 66 - 10 000 доларів) більше, ніж майбутнє значення Варіанту Б.

Теперішня вартість майбутнього платежу

Давайте складемо анте на нашу пропозицію. Що робити, якщо подальший платіж перевищить суму, яку ви одразу отримаєте? Скажіть, ви можете отримати або 15 000 доларів сьогодні, або 18 000 доларів за чотири роки. Зараз рішення складніше. Якщо ви вирішите сьогодні отримати 15 000 доларів США та вкласти всю суму, за чотири роки, можливо, ви отримаєте грошову суму, яка менше 18 000 доларів.

Як прийняти рішення? Ви можете знайти майбутню вартість 15 000 доларів, але оскільки ми завжди живемо в сьогоденні, давайте знайдемо теперішню вартість 18 000 доларів. Цього разу, ми припустимо, що зараз процентні ставки становлять 4%. Пам'ятайте, що рівняння для теперішнього значення таке:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} ПВ = FV \times (1 + i)^{- н} \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ текст {PV} = \ текст {FV} раз (1 + i) ^ {- n} \ \ кінець {вирівняний}$ PV = FV × (1 + i) −n

У наведеному вище рівнянні все, що ми робимо, - це дисконтування майбутньої вартості інвестиції. Використовуючи цифри, наведені вище, теперішня вартість платежу в розмірі 18 000 доларів США за чотири роки буде розрахована як 18 000 доларів x (1 + 0, 04) ^-4 = 15 386, 48 доларів.

З вищенаведеного підрахунку, ми тепер знаємо, що наш вибір сьогодні - між вибором $ 15 000 або $ 15 386, 48. Звичайно, нам слід вибрати відстрочку платежу на чотири роки!

Суть

Ці підрахунки демонструють, що час буквально є грошима - ціна грошей, яку ви маєте зараз, не така, як в майбутньому, і навпаки. Отже, важливо знати, як обчислити часову вартість грошей, щоб ви могли розрізнити вартість інвестицій, які пропонують вам прибутки в різний час. (Про пов’язане читання див. У розділі "Цінність грошей і долара у часі")

Зміст: