Станьте розумнішим з імітацією Монте Карло

У фінансах існує велика кількість невизначеності та ризику, пов'язаних з оцінкою майбутньої вартості цифр або сум через велику різноманітність потенційних результатів. Моделювання в Монте-Карло (MCS) - одна з методик, яка допомагає зменшити невизначеність, пов'язану з оцінкою майбутніх результатів. MCS можна застосовувати до складних, нелінійних моделей або використовувати для оцінки точності та продуктивності інших моделей. Вона також може бути реалізована в управлінні ризиками, управлінні портфелем, похідних ціноутвореннях, стратегічному плануванні, плануванні проектів, моделюванні витрат та інших сферах.

Визначення

MCS - це методика, яка перетворює невизначеності вхідних змінних моделі в розподіли ймовірностей. Поєднуючи розподіли та випадково відбираючи з них значення, вона багато разів перераховує змодельовану модель і виводить ймовірність виходу.

Основні характеристики

MCS дозволяє використовувати кілька входів одночасно для створення розподілу ймовірностей одного або декількох виходів. Різні типи розподілів ймовірностей можуть бути призначені на входи моделі. Коли розподіл невідомий, може бути обраний той, який представляє найкращу відповідність. Використання випадкових чисел характеризує MCS як стохастичний метод. Випадкові числа повинні бути незалежними; між ними не повинно бути ніякої кореляції. MCS генерує вихід у вигляді діапазону замість фіксованого значення та показує, наскільки вірогідне значення вихідного значення в діапазоні.

Деякі часто використовувані розподіли ймовірностей у MCS

Нормальний / гауссовий розподіл - неперервне розподіл, застосовуване в ситуаціях, коли задані середнє та стандартне відхилення, а середнє значення є найбільш ймовірним значенням змінної. Він симетричний навколо середини і не обмежений.

Лонормальний розподіл - безперервний розподіл, заданий середнім та стандартним відхиленням. Це підходить для змінної в межах від нуля до нескінченності, з позитивною косою і з нормально розподіленим природним логарифмом.

Трикутний розподіл - безперервний розподіл із фіксованими мінімальними та максимальними значеннями. Він обмежений мінімальними та максимальними значеннями і може бути або симетричним (найімовірніше значення = середнє = середнє), або асиметричним.

Уніфікований розподіл - безперервний розподіл, обмежений відомими мінімальними та максимальними значеннями. На відміну від трикутного розподілу, ймовірність появи значень між мінімумом і максимумом однакова.

Експоненційний розподіл - безперервний розподіл, який використовується для ілюстрації часу між незалежними подіями, за умови, що швидкість виникнення відома.

Математика позаду MCS

Вважаємо, що у нас є реальна значення функції g (X) з частотною функцією ймовірності P (x) (якщо X дискретна), або функцією щільності ймовірності f (x) (якщо X є безперервним). Тоді ми можемо визначити очікуване значення g (X) у дискретних та безперервних умовах відповідно:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} Е (г (Х)) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} г (х) П (х), \\ де П (х) > 0 і \sum_{- \infty}^{+ \infty} П (х) = 1 \\ Е (г (Х)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} г (х) f (х) г х, \\ де f (х) > 0 і \int_{- \infty}^{+ \infty} f (х) г х = 1 \\ Далі зробіть випадкові малюнки, названі н Х (х_{1}, \dots, х_{н}) \\ пробні пробіжки або симулятори, обчислити г (х_{1}), \dots, г (х_{н}) \end{matrix} \ початок {вирівняно} & E (g (X)) = \ сума ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) P (x), \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ текст {де} P (x)> 0 \ текст {і} сума ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) f (x) , dx, \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ текст {де} f (x)> 0 \ текст {і} int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} f (x) , dx = 1 \\ & \ текст {Далі, зробіть $ n $ випадкові малюнки $ X (x_1, \ ldots, x_n) $, звані} \ & \ текст {пробні запуски або симуляційні запуски, обчисліть $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \ & \ текст {і знайдіть середнє значення зразка $ g (x) $:} end {вирівняний}$ E (g (X)) = - ∞∑ + ∞ g (x) P (x), де P (x)> 0 і − ∞∑ + ∞ P (x) = 1E (g (X)) = ∫ − ∞ + ∞ g (x) f (x) dx, де f (x)> 0 і ∫ − ∞ + ∞ f (x) dx = 1Наступніше, зробіть n випадкових малюнків X (x1, …, xn), називаються пробними пробіжками або симуляторами, обчислюють g (x1), …, g (xn)

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} г_{н}^{мк} (х) = \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} г (х_{i}), що являє собою остаточне моделювання \\ значення Е (г (Х)) . \\ Тому г_{н}^{мк} (Х) = \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{н} г (Х) буде Монте-Карло \\ оцінювач Е (г (Х)) . \\ Як н \to \infty, г_{н}^{мк} (Х) \to Е (г (Х)), таким чином ми зараз це можемо \\ обчислити дисперсію навколо передбачуваного середнього с \\ неупереджена дисперсія г_{н}^{мк} (Х) : \end{matrix} \ початок {вирівняний} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ текст {який представляє остаточний модельований} \ & \ текст { значення} E (g (X)). \\\\ & \ текст {Тому} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) text {буде Монте-Карло} \ & \ текст {оцінювач} E (g (X)). \\\\ & \ текст {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) до E (g (X)), \ text {таким чином, ми тепер можемо} \ & \ text {обчислити дисперсію навколо передбачуваного середнього за допомогою} \ & \ text {неупередженої дисперсії} g ^ \ mu_n (X) текст {:} \ & Var (g ^ \ mu_n (X)) = \ frac {1} {n-1} сума ^ n_ {i = 1} (g (x_i) -g ^ \ mu_n (х)) ^ 2. \ кінець {вирівняний}$ Gnμ (x) = n1 i = 1∑n g (xi), що являє собою остаточне модельоване значення E (g (X)). Тому gnμ (X) = n1 i = 1∑n g (X) буде Монте-Карлоестиматором E (g (X)). Оскільки n → ∞, gnμ (X) → E (g (X)), таким чином ми тепер можемо обчислити дисперсію навколо розрахункової середньої величини за допомогою неупереджена дисперсія gnμ (X):

Простий приклад

Як вплине невизначеність ціни на одиницю продукції, продажу одиниць продукції та змінних витрат?

Продаж одиниць авторських прав) - (Змінні витрати + Фіксовані витрати)

Пояснимо невизначеність вхідних даних - ціна одиниці продажів, одиниця продажу та змінні витрати - використовуючи трикутний розподіл, визначений відповідними мінімальними та максимальними значеннями вхідних даних із таблиці.

Авторські права

Діаграма чутливості

Діаграма чутливості може бути дуже корисною, коли справа стосується аналізу впливу вхідних даних на вихід. За його словами, продажі на одиницю продукції складають 62% дисперсії в модельованому EBITD, змінні витрати - 28, 6% та ціна одиниці - 9, 4%. Кореляція між продажем паїв та EBITD та між ціною одиниці та EBITD є позитивною, або збільшення продажу на одиницю продукції або ціни на одиницю призведе до збільшення показника EBITD. Змінні витрати та EBITD, з іншого боку, негативно співвідносяться, і зменшуючи змінні витрати, ми збільшимо EBITD.

Авторські права

Будьте уважні, що визначення невизначеності вхідного значення шляхом розподілу ймовірностей, яке не відповідає реальному, та вибірка з нього дасть неправильні результати. Крім того, припущення про незалежність вхідних змінних може бути неправдивим. Оманливі результати можуть виходити з вхідних даних, які взаємно виключаються, або якщо буде знайдено значну кореляцію між двома або більше вхідними розподілами.

Суть

Техніка MCS проста та гнучка. Це не може усунути невизначеність та ризик, але може полегшити їх розуміння, приписуючи ймовірнісні характеристики вхідним та вихідним результатам моделі. Це може бути дуже корисним для визначення різних ризиків та факторів, які впливають на прогнозовані змінні, і, отже, може призвести до більш точних прогнозів. Також зауважте, що кількість випробувань не повинна бути занадто малою, оскільки це може бути недостатньо для імітації моделі, викликаючи кластеризацію значень.

Зміст: