Оцінка варіантів може бути складним бізнесом. Розглянемо наступний сценарій: У січні 2015 року акції IBM торгувались на рівні 155 доларів, і ви очікували, що в наступному році він вийде вище. Ви маєте намір придбати опцію дзвінка на акції IBM із ціною страйку ATM в розмірі 155 доларів, очікуючи отримати вигоду від високого відсотка, виходячи з невеликої вартості опціону (опціонної премії), порівняно з покупкою акцій із високою ціною покупки.
Якою має бути справедлива вартість цього варіанту виклику в IBM?
Сьогодні доступно кілька різних готових методів для оцінювання варіантів - включаючи модель Чорних Шоулів та біноміальну модель дерева - які можуть дати швидкі відповіді. Але які основні фактори та рушійні концепції для досягнення таких моделей оцінки? Чи можна щось подібне підготувати, грунтуючись на концепції цих моделей?
Тут ми розкриваємо будівельні блоки, основні поняття та фактори, які можуть бути використані в якості основи для побудови моделі оцінки для такого активу, як опціони, забезпечуючи побічне порівняння з походженням Чорних Школів (Б.С.) модель.
Світ перед чорношкірими
До Чорних Шоулів широко дотримувалася модель ціноутворення капіталу на основі рівноваги (CAPM). Прибутковість та ризики були збалансовані між собою, виходячи з переваг інвестора, тобто очікувалося, що інвестор з високим ризиком буде компенсований (потенціалом) вищої доходності в аналогічній пропорції.
Модель BS знаходить своє коріння в CAPM. За словами Фішера Блека: «Я застосував Модель ціноутворення капітальних активів до кожного моменту життя ордера, для будь-якої можливої ціни акцій та вартості ордера». На жаль, CAPM не змогла виконати вимогу ціноутворення ордера (опціону).
Блек-Шоулз залишається першою моделлю, заснованої на концепції арбітражу, здійснюючи перехід парадигми від моделей на основі ризику (наприклад, CAPM). Ця нова модель BS замінила концепцію повернення акцій CAPM визнанням факту, що ідеально захищена позиція заробить безризикову ставку. Це вилучило зміни ризику та дохідності та встановило концепцію арбітражу, в якому оцінки проводяться за припущеннями нейтральної до ризику концепції - захищена (безризикова) позиція повинна призвести до безризикової норми прибутку.
Розвиток чорношкірих
Почнемо з встановлення проблеми, кількісної оцінки її та розробки рамки для її вирішення. Ми продовжуємо наш приклад щодо оцінки варіанту виклику банкоматів для IBM із ціною страйку в розмірі 155 доларів з закінченням одного року.
На основі базового визначення опціону виклику, якщо ціна акцій не досягне рівня страйкової ціни, окупність залишається нульовою. Опублікувавши цей рівень, виплата збільшується лінійно (тобто збільшення на один долар в базовому буде забезпечувати виплату на один долар від опціону виклику).
Якщо припустити, що покупець та продавець домовляються про справедливу оцінку (включаючи нульову ціну), теоретична справедлива ціна для цього варіанту виклику буде:
- Ціна опціону виклику = $ 0, якщо базується <страйк (червоний графік) Варіант дзвінка ціна = (базовий - страйк), якщо базовий> = страйк (синій графік)
Це представляє внутрішню цінність опціону і виглядає ідеально з точки зору покупця опціону виклику. У червоному регіоні і покупець, і продавець мають справедливу оцінку (нульова ціна для продавця, нульова виплата покупцеві). Однак проблема з оцінкою починається з блакитного регіону, оскільки покупець має перевагу позитивного виплати, тоді як продавець зазнає збитків (за умови, що базова ціна перевищує ціну страйку). Тут покупець має перевагу перед продавцем з нульовою ціною. Ціноутворення повинно бути не нульовим, щоб компенсувати продавцю ризик, який він несе.
У першому випадку (червоний графік) теоретично продавець отримує нульову ціну, і для покупця є потенціал окупності (справедливо для обох). В останньому випадку (синій графік) продавець повинен сплатити різницю між базовим та страйком. Ризик продавця охоплюється протягом цілого року. Наприклад, основна ціна акцій може змінитися дуже високою (скажімо, до 200 доларів за чотири місяці), і продавець зобов'язаний заплатити покупцеві різницю в 45 доларів.
Таким чином, воно зводиться до:
- Чи буде ціна базової перекреслювати страйкову ціну? Якщо вона зробить, наскільки високою може стати основна ціна (як це визначатиме виплату покупцеві)?
Це вказує на великий ризик, який приймає продавець, що призводить до питання - навіщо хтось продавати такий дзвінок, якщо вони нічого не отримують за ризик, який вони беруть на себе?
Нашою метою є досягнення єдиної ціни, яку продавець повинен стягувати з покупця, що може компенсувати йому загальний ризик, який він приймає протягом року - і в області нульових платежів (червоний), і в області лінійних платежів (синій). Ціна повинна бути справедливою і прийнятною як для покупця, так і для продавця. Якщо ні, то той, хто перебуває у невигідному плані з точки зору оплати чи отримання несправедливої ціни, не братиме участі в ринку, тим самим перемагаючи мету торгового бізнесу. Модель Black-Scholes має на меті встановити цю справедливу ціну, враховуючи постійне коливання ціни акцій, часову вартість грошей, ціну страйку опціону та час до закінчення терміну дії опціону. Подібно до моделі BS, давайте подивимось, як ми можемо підійти до оцінки цього на нашому прикладі, використовуючи власні методи.
Як оцінити внутрішню цінність у блакитному регіоні?
Існує пара методів для прогнозування очікуваного руху цін у майбутньому протягом визначених часових рамків:
- Можна проаналізувати подібні зміни цін однакової тривалості в недавньому минулому. Історична ціна закриття IBM вказує на те, що за останній рік (2 січня 2014 р. По 31 грудня 2014 р.) Ціна знизилася до 160, 44 долара зі 185, 53 долара, зниження на 13, 5%. Чи можемо ми зробити висновок про зниження ціни на -13, 5% для IBM? Подальша детальна перевірка показує, що вона досягла річного максимуму в $ 199, 21 (10 квітня 2014 року) і щорічного мінімуму в $ 150, 5 (16 грудня 2014 року). Зважаючи на це в перший день, 2 січня 2014 року, і ціна закриття в розмірі 185, 53 долара, зміна відсотка змінюється від + 7, 37% до -18, 88%. Тепер діапазон варіацій виглядає набагато ширшим порівняно з раніше розрахованим зниженням на 13, 5%.
Аналогічний аналіз та спостереження за історичними даними можна проводити. Щоб продовжити розробку нашої моделі ціноутворення, давайте припустимо цю просту методологію для оцінки майбутніх коливань цін.
Припустимо, що IBM щороку збільшується на 10% (виходячи з історичних даних за останні 20 років). Основна статистика свідчить, що ймовірність зміни цін на акції IBM, що коливається приблизно на + 10%, буде набагато вищою, ніж ймовірність зростання ціни IBM на 20% або зниження на 30%, якщо вважати, що історичні зразки повторюються. Збираючи подібні історичні точки даних зі значеннями ймовірності, загальний очікуваний прибуток від вартості акцій IBM за один рік може бути обчислений як середньозважене середнє значення ймовірностей та пов'язаних з цим прибуток. Наприклад, припустимо, що історичні цінові дані IBM вказують на наступні кроки:
- (-10%) у 25% разів, + 10% у 35% разів, + 15% у 20% разів, + 20% у 10% разів, + 25% у 5% разів та (-15%) у 5% разів.
Отже, середньозважене значення (або очікуване значення) дорівнює:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Тобто, в середньому, ціна акцій IBM, як очікується, повернеться на 6, 5% за рік за кожен долар. Якщо хтось купує акції IBM з річним горизонтом і ціною купівлі 155 доларів, можна очікувати чистої віддачі 155 * 6, 5% = 10, 075 доларів.
Однак це для повернення запасів. Нам потрібно шукати аналогічні очікувані прибутки для опції виклику.
Виходячи з нульової виплати дзвінка нижче ціни страйку (існуюча 155 доларів США - дзвінок на банкоматі), усі негативні кроки призведуть до нульових виплат, тоді як усі позитивні зміни вище ціни страйку призведуть до еквівалентної виплати. Очікувана віддача від опції виклику таким чином буде:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Тобто на кожні 100 доларів, вкладених у покупку цього варіанту, можна очікувати 9, 75 долара (виходячи з вищенаведених припущень).
Однак це все ще залишається обмеженим справедливою оцінкою внутрішньої суми опціону і не належним чином відображає ризик, який несе продавець опціону за високі коливання, які можуть виникнути в проміжок часу (у випадку вищезазначених внутрішньорічних високих і низьких ціни). На додачу до властивої вартості, яку ціну можна домовитись покупцем та продавцем, щоб продавець справедливо компенсував ризик, який він бере на себе за один рік?
Ці гойдалки можуть сильно відрізнятися, і продавець може мати власне тлумачення того, скільки він хоче отримати за це компенсацію. Модель Black-Scholes передбачає варіанти європейського типу, тобто ніяких вправ до закінчення терміну придатності. Таким чином, вона не впливає на проміжні коливання цін і базує свою оцінку на торгових днях.
У реальній торгівлі в цей день ця мінливість відіграє важливу роль у визначенні опціонних цін. Синя функція виплат, яку ми зазвичай бачимо, - це фактично виплата на термін дії. Реально ціна опціону (рожевий графік) завжди вище, ніж окупність (синій графік), що вказує на ціну, прийняту продавцем для компенсації його здібностей до ризику. Ось чому ціна опціону також відома як опція "премія" - в основному вказує премію за ризик.
Це може бути включено до нашої моделі оцінки залежно від того, яка мінливість очікується в ціні акцій та на скільки очікуваної вартості, яка дасть прибутковість.
Модель Black-Scholes робить це ефективно (звичайно, в рамках власних припущень) наступним чином:
Сігналы абмеркавання C = S × N (d1) −X × e − rTN (d2)
Модель BS передбачає логічний розподіл руху цін на акції, що виправдовує використання N (d1) і N (d2).
- У першій частині S вказує поточну ціну акцій. N (d1) вказує на ймовірність поточного руху цін на акції.
Якщо цей варіант вийде на гроші, що дозволяє покупцеві скористатися цією опцією, він отримає одну акцію базових акцій IBM. Якщо трейдер здійснює це сьогодні, то S * N (d1) представляє очікуване значення опціону на сьогоднішній день.
У другій частині X вказує ціну страйку.
- N (d2) являє собою ймовірність того, що ціна акцій буде вище страйкової ціни. Отже, X * N (d2) являє собою очікувану величину ціни акцій, що залишається вище ціни страйку.
Оскільки модель Black-Scholes передбачає варіанти в європейському стилі, коли вправа можлива лише в кінці, очікуване значення, представлене вище X * N (d2), слід дисконтувати за часову вартість грошей. Отже, остання частина помножується на експоненціальний строк, підвищений до процентної ставки за певний період.
Чиста різниця двох термінів вказує на цінову вартість опціону на сьогодні (де другий термін дисконтується)
У нашій структурі такі цінові зміни можна більш точно включати за допомогою декількох способів:
- Подальше уточнення розрахунків очікуваної віддачі шляхом розширення діапазону до більш тонких інтервалів, щоб включити цінові зміни в денний / внутрішньорічний час. Включення даних сучасного ринку, оскільки це відображає активність поточного дня (аналогічно загальній мінливості) Очікувана віддача на дату закінчення терміну дії, яка може підлягають дисконтуванню до сьогоднішнього дня за реалістичні оцінки та додатково зменшуються від вартості поточного дня
Таким чином, ми бачимо, що припущення, методології та налаштування, які слід вибирати для кількісного аналізу, немає меж. Залежно від активу, яким слід торгувати, або інвестиції, яку слід врахувати, може бути розроблена саморозвинена модель. Важливо відзначити, що коливання цін у різних класах активів сильно різняться - акції мають перекос нестабільності, форекс нахмуриться на волатильності - і користувачі повинні включати в свої моделі застосовні моделі волатильності. Припущення та недоліки є невід’ємною частиною будь-якої моделі, і добре обізнане застосування моделей у реальних сценаріях торгівлі може дати кращі результати.
Суть
Коли складні активи виходять на ринки або навіть звичайні активи ванілі, потрапляючи в складні форми торгівлі, кількісне моделювання та аналіз стають обов'язковими для оцінки. На жаль, жодна математична модель не має без набору недоліків і припущень. Найкращим підходом є зведення припущень до мінімуму та усвідомлення наявних недоліків, які можуть допомогти в малюванні ліній щодо використання та застосованості моделей.
