Зміст
- Нормальне (крива Белла) розподіл
- Ризик та повернення
- Сучасна теорія портфоліо
- Будівельні блоки
- Короткий приклад MPT
- Виклики до MPT та розповсюдження
- Суть
Нормальний розподіл - це розподіл ймовірності, який будує всі свої значення симетрично, більшість результатів розташовані навколо середнього значення.
Нормальне (крива Белла) розподіл
Набори даних (наприклад, зріст 100 людей, оцінки, отримані 45 учнями в класі тощо), як правило, мають багато значень в одній точці даних або в межах одного діапазону. Такий розподіл точок даних називається нормальним чи розподілом кривої дзвіночка.
Наприклад, у групі зі 100 особин 10 може бути нижче 5 футів у висоту, 65 можуть стояти від 5 до 5, 5 футів, а 25 можуть бути вище 5, 5 футів. Цей обмежений діапазон може бути побудований наступним чином:
Аналогічно, точки даних, побудовані у графіках для будь-якого набору даних, можуть нагадувати різні типи розподілів. Три найпоширеніші розподілення ліворуч, вирівнювання праворуч і переміщення:
Зверніть увагу на червону лінію тренду в кожному з цих графіків. Це приблизно вказує на тенденцію поширення даних. Перший, «Вирівняний лівий розподіл», вказує на те, що більшість точок даних потрапляє в нижній діапазон. У другому графіку “ВПРАВЛІНЕННЯ ПРАВИЛЬНОГО розподілу” більшість точок даних потрапляє у верхній кінець діапазону, тоді як останній, “Перемішаний розподіл”, являє собою змішаний набір даних без чіткої тенденції.
Існує багато випадків, коли розподіл точок даних має тенденцію до центрального значення, і цей графік показує ідеальний нормальний розподіл - однаково збалансований з обох сторін, найбільша кількість точок даних сконцентрована в центрі.
Ось ідеальний, нормально розподілений набір даних:
Центральне значення тут - 50 (що має найбільшу кількість точок даних), а розподіл звужується рівномірно до крайніх кінцевих значень 0 і 100 (які мають найменшу кількість точок даних). Нормальний розподіл симетричний навколо центрального значення з половиною значень на кожній стороні.
Дуже багато прикладів з реального життя відповідають розміщенню кривої дзвіночки:
- Багато разів кидайте справедливу монету (скажімо, 100 і більше разів), і ви отримаєте збалансований нормальний розподіл голови та хвостів. Багато разів прокатуйте пару справедливих кісток (скажімо, 100 разів і більше), і результат буде збалансованим, нормальним розподіл зосереджений навколо числа 7 і рівномірно звужується до крайніх значень 2 і 12. Висота особин у групі значних розмірів і оцінок, отриманих людьми в класі, обидва дотримуються звичайних схем розподілу. У фінансах зміни в значення журналу Форекс-ставок, індексів цін та цін акцій прийнято вважати нормально розподіленими.
Ризик та повернення
Будь-яка інвестиція має два аспекти: ризик та віддача. Інвестори шукають найменший можливий ризик для максимально можливої віддачі. Нормальний розподіл кількісно визначає ці два аспекти середнім значенням прибутку та стандартним відхиленням для ризику. (Докладніше див. У "Аналіз середньої дисперсії".)
Середнє або очікуване значення
Особливо середня зміна ціни акції може становити 1, 5% щодня - це означає, що в середньому вона зростає на 1, 5%. Це середнє значення або очікуване значення, що означає прибуток, можна досягти шляхом обчислення середнього на достатньо великому наборі даних, що містить історичні щоденні зміни цін цієї акції. Чим вище середня, тим краще.
Стандартне відхилення
Стандартне відхилення позначає суму, на яку значення в середньому відхиляються від середнього. Чим вище стандартне відхилення, тим більш ризикована інвестиція, оскільки це призводить до більшої невизначеності.
Ось графічне зображення того самого:
Отже, графічне зображення нормального розподілу через його середнє та стандартне відхилення дозволяє представити як віддачу, так і ризик у чітко визначеному діапазоні.
Це допомагає дізнатися (і бути впевненим із впевненістю), що якщо деякий набір даних відповідає нормальній схемі розподілу, його середнє значення дозволить нам дізнатися, чого очікується прибуток, а його стандартне відхилення дасть нам змогу знати, що приблизно 68% значень буде в межах 1 стандартного відхилення, 95% в межах 2 стандартних відхилень і 99% значень потраплять в межах 3 стандартних відхилень. Набір даних, що має середнє значення 1, 5 і стандартне відхилення 1, набагато більш ризикований, ніж інший набір даних із середнім значенням 1, 5 та стандартним відхиленням 0, 1.
Знаючи ці значення для кожного вибраного активу (тобто акції, облігації та фонди), зробить інвестором обізнаний про очікуваний прибуток та ризики.
Застосувати цю концепцію досить просто і представляти ризик та рентабельність однієї акції, облігації чи фонду. Але чи можна це поширити на портфель декількох активів?
Фізичні особи починають торгувати, купуючи єдиний пакет акцій або облігацій або вкладаючи у взаємний фонд. Поступово вони мають тенденцію збільшувати свої запаси та купувати кілька акцій, фондів чи інших активів, створюючи тим самим портфель. У цьому інкрементальному сценарії люди будують свої портфелі без стратегії чи великої продуманості. Професійні менеджери фондів, торговці та маркетологи дотримуються систематичного методу формування свого портфеля, використовуючи математичний підхід, який називається сучасна теорія портфелів (MPT), заснована на концепції "нормального розподілу".
Сучасна теорія портфоліо
Сучасна теорія портфелів (MPT) пропонує систематичний математичний підхід, який спрямований на максимальне збільшення очікуваної віддачі портфеля за певну кількість портфельного ризику шляхом вибору пропорцій різних активів. Крім того, він також пропонує мінімізувати ризик для заданого рівня очікуваної віддачі.
Для досягнення цієї мети активи, які слід включити до портфеля, слід вибирати не лише на основі їх власних індивідуальних заслуг, а замість того, як кожен актив буде працювати стосовно інших активів у портфелі.
У двох словах, MPT визначає, як найкраще досягти диверсифікації портфеля для найкращих можливих результатів: максимальна віддача за прийнятний рівень ризику або мінімальний ризик для бажаного рівня прибутку.
Будівельні блоки
MPT була такою революційною концепцією, коли було введено, що його винахідники отримали благородну премію. Ця теорія успішно дала математичну формулу для керівництва диверсифікацією інвестицій.
Диверсифікація - це техніка управління ризиками, яка знімає ризик "усіх яєць в одному кошику", інвестуючи в непов'язані запаси, сектори чи класи активів. В ідеалі позитивна результативність одного активу в портфелі скасуватиме негативну ефективність інших активів.
Для взяття середньої дохідності портфеля, який має п різних активів, обчислюється пропорційно зважена комбінація доходів складових активів.
Зважаючи на характер статистичних обчислень та нормальний розподіл, загальний дохід портфеля (R p) обчислюється як:
Сігналы абмеркавання Rp = ∑wi Ri
Сума (∑), де w i - пропорційна вага активу i в портфелі, R i - дохідність (середня) активу i.
Ризик портфеля (або стандартне відхилення) - це функція співвідношення включених активів для всіх пар активів (стосовно один одного в парі).
Зважаючи на характер статистичних розрахунків та нормальний розподіл, загальний ризик портфеля (Std-dev) p розраховується як:
Сігналы абмеркавання (Std − dev) p = sqrt
Тут cor-cof - коефіцієнт кореляції між прибутковістю активів i та j, а sqrt - квадратним коренем.
Це дбає про відносну ефективність кожного активу по відношенню до іншого.
Хоча це здається математично складним, проста концепція, застосована тут, включає не тільки стандартні відхилення окремих активів, але і пов'язані з ними відносно один одного.
Тут є хороший приклад з університету Вашингтона.
Короткий приклад MPT
В якості продуманого експерименту, давайте уявимо, що ми - менеджер з портфеля, якому було надано капітал і на яке покладено завдання, скільки капіталу слід розподілити на два наявні активи (A&B), щоб максимальна очікувана віддача була знижена і ризик був знижений.
Також у нас є такі значення:
R a = 0, 175
R b = 0, 055
(Std-dev) a = 0, 258
(Std-dev) b = 0, 151
(Std-dev) ab = -0, 004875
(Cor-cof) ab = -0, 164
Починаючи з рівного розподілу 50-50 для кожного активу A&B, R p обчислює 0, 151, а (Std-dev) p дорівнює 0, 1323. Просте порівняння говорить про те, що для цього 2 портфеля активів повернення, а також ризик є посередині між окремими цінностями кожного активу.
Однак наша мета полягає в тому, щоб покращити рентабельність портфеля за межі середнього показника будь-якого окремого активу та зменшити ризик, щоб він був нижчим, ніж у окремих активів.
Давайте тепер візьмемо позицію розподілу капіталу 1, 5 в активі A і -0, 5 позицію розподілу капіталу в активі B. (Негативний розподіл капіталу означає скорочення того, що отриманий запас і капітал використовуються для придбання надлишку іншого активу з позитивним розподілом капіталу. Іншими словами, ми скорочуємо акції B для капіталу в 0, 5 рази і використовуємо ці гроші, щоб придбати акцію А на суму в 1, 5 рази більше капіталу.)
Використовуючи ці значення, ми отримуємо R p як 0, 1604, а (Std-dev) p - 0, 4005.
Аналогічно, ми можемо продовжувати використовувати різні ваги розподілу для активу A&B та отримувати різні набори Rp та (Std-dev) p. Відповідно до бажаної віддачі (Rp), можна вибрати найбільш прийнятний рівень ризику (std-dev) p. Крім того, для бажаного рівня ризику можна вибрати найкращу доступну дохідність портфеля. Так чи інакше, завдяки цій математичній моделі теорії портфеля можна досягти мети створення ефективного портфеля з бажаною комбінацією ризику та віддачі.
Використання автоматизованих інструментів дозволяє легко і плавно визначити найкращі можливі виділені пропорції, без необхідності тривалих ручних обчислень.
Ефективна межа, Модель ціноутворення на капітальні активи (CAPM) та ціноутворення активів за допомогою MPT також розвиваються з тієї ж нормальної моделі розподілу і є розширенням до MPT.
Проблеми перед MPT (та основними нормальними розподілами)
На жаль, жодна математична модель не є досконалою, і кожна має недоліки та обмеження.
Основне припущення, що повернення цін на акції відбувається за нормальним розподілом, сумнівається раз і знову. Є достатній емпіричний доказ випадків, коли значення не дотримуються передбачуваного нормального розподілу. Складання складних моделей на таких припущеннях може призвести до великих результатів.
Якщо піти далі в MPT, розрахунки та припущення щодо коефіцієнта кореляції та коваріації, що залишаються фіксованими (на основі історичних даних), не обов'язково можуть бути правдивими для майбутніх очікуваних значень. Наприклад, облігаційний та фондовий ринки показали ідеальну кореляцію на ринку Великобританії з 2001 по 2004 роки, коли прибуток від обох активів знижувався одночасно. Насправді, зворотний процес спостерігався протягом тривалих історичних періодів до 2001 року.
Поведінка інвесторів не враховується в цій математичній моделі. Податки та трансакційні витрати нехтують, хоча передбачається часткове розподіл капіталу та можливість скорочення активів.
Насправді жодне з цих припущень не може бути правдивим, а це означає, що реалізовані фінансові доходи можуть суттєво відрізнятися від очікуваних прибутків.
Суть
Математичні моделі забезпечують хороший механізм кількісної оцінки деяких змінних за допомогою одиничних відстежуваних чисел. Але через обмеження припущень моделі можуть вийти з ладу.
Звичайний розподіл, який лежить в основі теорії портфеля, може не обов'язково застосовуватися до акцій та інших моделей цін на фінансові активи. Теорія портфеля сама по собі має безліч припущень, які слід критично вивчити, перш ніж приймати важливі фінансові рішення.
