Визначення складних відсотків

Зміст

• Що таке складний інтерес?
• Розрахунок складних відсотків
• Зростання складних відсотків
• Складні періоди
• Розрахунок в складі Excel
• Використання інших калькуляторів
• Частота сполучень
• Значення часу грошей
• Розгляд "Правила 72"
• Складний річний темп зростання
• Плюси і мінуси ускладнення
• Складні інвестиції
• Повідомлення, якщо інтерес є складним

Що таке складний інтерес?

Складний відсоток (або складний відсоток) - це відсотки, обчислені за початковою основною сумою, яка також включає всі накопичені відсотки за попередні періоди вкладу чи позики. Як вважалося, виник у Італії 17 століття, складні відсотки можна розглядати як "відсотки за відсотками" і змусять суму зростати швидше, ніж прості відсотки, які розраховуються лише на основну суму.

Ключові вивезення

• Складний відсоток (або складний відсоток) - це відсотки, обчислені за початковою основною сумою, яка також включає всі накопичені відсотки за попередні періоди депозиту або позики. Сума відсотків обчислюється шляхом множення початкової суми основної суми на одну плюс щорічну підвищену процентну ставку до кількості складних періодів мінус один. Зацікавленість може бути складена за будь-яким заданим графіком частот, від безперервного до щоденного до щорічного. При обчисленні складних відсотків кількість складних періодів робить істотну різницю.

Швидкість, з якої нараховуються складні відсотки, залежить від частоти складання, так що чим більше число періодів складання, тим більший відсотковий відсоток. Таким чином, сума складених відсотків, нарахованих на 100 доларів США, складених на 10% щорічно, буде нижчою, ніж на 100 доларів США, що складаються на 5% на півріччя протягом того ж періоду. Оскільки ефект від процентної ставки може давати все більш позитивні прибутки на основі початкової суми основної суми, її іноді називають "чудом складних відсотків".

Розуміння складних інтересів

Розрахунок складних відсотків

Складні відсотки обчислюються шляхом множення початкової суми основної суми на одну плюс річну процентну ставку, підвищену на кількість складних періодів мінус один. Потім загальна початкова сума позики віднімається від отриманої вартості.

Кеті Керпель {Copyright} Інвестопедія, 2019.

Формула для обчислення складних відсотків:

Складні відсотки = Загальна сума основної суми та відсотків у майбутньому (або майбутня вартість) за вирахуванням суми основної суми в даний час (або теперішня вартість)

= - Р

= Р

(Де P = Основна, i = номінальна річна процентна ставка у відсотках, і n = кількість періодів складності.)

Візьміть трирічну позику в розмірі 10 000 доларів за відсотковою ставкою 5%, яка складається щорічно. Якою була б сума відсотків? У цьому випадку це було б: 10 000 $ = 10 000 $ = 1, 576, 25 $.

Зростання складних відсотків

Використовуючи наведений вище приклад, оскільки складні відсотки також враховують накопичені відсотки за попередні періоди, сума відсотків не є однаковою протягом усіх трьох років, як це було б з простими відсотками. Хоча загальна сума відсотків, що підлягають сплаті за трирічний період цього кредиту, становить 1576, 25 доларів, відсотки, що підлягають сплаті в кінці кожного року, відображаються в таблиці нижче.

Складні періоди

При розрахунку відсоткових відсотків кількість складних періодів суттєво відрізняється. Основне правило: чим більша кількість періодів складання, тим більша сума складених відсотків.

Наступна таблиця демонструє різницю в тому, що кількість складних періодів може скласти позику в розмірі 10 000 доларів США з 10-річною процентною ставкою протягом 10-річного періоду.

Складний відсоток може значно підвищити інвестиційну віддачу в довгостроковій перспективі. Хоча депозит у розмірі 100 000 доларів, який отримує 5% прості відсотки, зароблять 50 000 доларів відсотків за 10 років, складні відсотки від 5% до 10 000 доларів становитимуть 62 889, 46 доларів за той же період.

Розрахунок в складі Excel

Якщо минуло чимало днів ваших занять з математики, не бійтеся: Є зручні інструменти, які допомагають скласти фігуру. Багато калькуляторів (як кишенькові, так і комп'ютерні) мають функції експоненту, які можна використовувати для цих цілей. Якщо виникають складніші складні завдання, їх можна виконати за допомогою Microsoft Excel - трьома різними способами.

1. Перший спосіб розрахунку складних відсотків - це помноження нового балансу кожного року на процентну ставку. Припустимо, ви депозитуєте 1000 доларів на ощадний рахунок із 5-відсотковою процентною ставкою, яка складається щорічно, і ви хочете розрахувати залишок за п’ять років. У Microsoft Excel введіть "Рік" у комірку А1 та "Баланс" у комірку В1. Введіть від 0 до 5 років у клітини від А2 до А7. Залишок за рік 0 становить 1000 доларів, тому ви введете "1000" у комірку В2. Далі введіть "= B2 * 1, 05" у комірку B3. Потім введіть "= B3 * 1, 05" у комірку B4 і продовжуйте це робити, поки не потрапите до комірки B7. У комірці B7 обчислення дорівнює "= B6 * 1, 05". Нарешті, обчислене значення в комірці B7 - $ 1, 276, 28 - це залишок на вашому ощадному рахунку через п'ять років. Для знаходження складної процентної вартості віднімайте $ 1000 від $ 1, 276.28; це дає вам значення в $ 276, 28. Другий спосіб розрахунку складних відсотків - це використання фіксованої формули. Формула складної процентної ставки становить ((P * (1 + i) ^ n) - P), де P - основна, i - річна процентна ставка, а n - кількість періодів. Використовуючи ту саму інформацію вище, введіть "Основне значення" у комірку А1 та 1000 - у комірку В1. Далі введіть "Процентна ставка" у комірку A2 та ".05" у комірку B2. Введіть "Складні періоди" в комірку A3 і "5" в комірку B3. Тепер ви можете обчислити складені відсотки в комірці B4, ввівши "= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1", що дає вам $ 276.28. Третій спосіб обчислити складний інтерес - це створити функцію макросу. Спочатку запустіть редактор Visual Basic, який знаходиться на вкладці розробника. Клацніть меню Вставка та натисніть Модуль. Потім введіть у перший рядок "Function Compound_Interest (P як подвійний, i як подвійний, n як подвійний) як подвійний". У другому рядку натисніть клавішу табуляції та введіть "Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P". У третьому рядку модуля введіть "Закінчити функцію". Ви створили макрос функції для обчислення складної процентної ставки. Продовжуючи з того ж робочого аркуша Excel вище, введіть "Складний інтерес" у комірку A6 та введіть "= Compound_Interest (B1, B2, B3)". Це дає вам значення $ 276, 28, що відповідає першим двом значенням.

Використання інших калькуляторів

Як було сказано вище, в Інтернеті пропонується ряд безкоштовних калькуляторів складних відсотків, і багато керованих калькуляторів також можуть виконувати ці завдання.

• Безкоштовний калькулятор відсоткових відсотків, пропонований через Financial-Calculators.com, простий в експлуатації та пропонує складні вибір частоти щодня та щороку. Він включає можливість вибору безперервного складання, а також дозволяє вводити фактичні дати початку та кінця календаря. Після введення необхідних даних розрахунку результати показують зароблений відсоток, майбутню вартість, річну процентну дохідність (APY), що є заходом, що включає складання та щоденні відсотки.Investor.gov, веб-сайт, керований Комісією з цінних паперів та бірж США (SEC) пропонує безкоштовний онлайн-калькулятор складних відсотків. Калькулятор досить простий, але він дозволяє вводити щомісячні додаткові депозити до довірителя, що корисно для підрахунку заробітку, де зберігаються додаткові щомісячні заощадження. Безкоштовний онлайн-калькулятор відсотків з ще кількома функціями доступний на TheCalculatorSite.com. Цей калькулятор дозволяє проводити розрахунки для різних валют, можливість розраховувати щомісячні депозити чи зняття коштів, а також можливість автоматично підраховувати збільшення коригування інфляції до щомісячних депозитів або зняття коштів.

Частота сполучень

Зацікавлення може посилюватися в будь-якому заданому графіку частот, щодня до щорічно. Існують стандартні графіки частоти складання, які зазвичай застосовуються до фінансових інструментів.

Загальноприйнятий графік складання ощадних рахунків у банку є щоденним. Для компакт-дисків типовими складовими частотні графіки є щоденні, щомісячні або півроку; для рахунків на грошовому ринку це часто щодня. Для житлових іпотечних кредитів, позик на власний капітал, позик для особистого бізнесу або рахунків на кредитних картках найчастіше застосовується графік складання - щомісяця. Також можуть бути різниці у часових межах, за які нараховані відсотки фактично зараховуються до існуючого балансу. Відсотки за рахунком можуть нараховуватися щодня, але нараховуються лише щомісяця. Лише тоді, коли відсотки фактично нараховуються або додаються до існуючого балансу, він починає заробляти додаткові відсотки на рахунку.

Деякі банки також пропонують щось, що називається безперервно компенсуючим відсотком, що додає відсотка довірителю в кожен можливий момент. З практичних цілей це не набирає набагато більше, ніж щоденний збір відсотків, якщо ви не хочете вкласти гроші і забрати їх в той же день.

Більш часте ускладнення відсотків вигідно інвестору чи кредитору. Для позичальника - навпаки.

Значення часу грошей

Розуміння вартості грошей у часі та експоненціальний ріст, що створюється шляхом зміщення, має важливе значення для інвесторів, які прагнуть оптимізувати розподіл своїх доходів та багатства.

Формула для отримання майбутнього значення (FV) та теперішньої величини (PV) є наступною:

FV = PV (1 + i) ⁿ і PV = FV / (1 + i) ⁿ

Наприклад, майбутня вартість 10 000 доларів США складе 5% щорічно протягом трьох років:

= 10000 доларів (1 + 0, 05) ³

= 10 000 дол. США (1, 157625)

= 11 576, 25 дол

Нинішня вартість 11 576, 25 доларів США дисконтована на 5% протягом трьох років:

= $ 11 576, 25 / (1 + 0, 05) ³

= 11 576, 25 дол. США / 1, 157625

= 10000 доларів

Коефіцієнт дисконтування в цьому випадку є коефіцієнтом зворотності 1, 157625, що дорівнює 0, 8638376.

Розгляд "Правила 72"

Так зване правило 72 обчислює приблизний час, протягом якого інвестиція подвоїться при заданій нормі прибутку або відсотків "i", і задається (72 / i). Її можна використовувати тільки для щорічного складання.

Наприклад, інвестиція, що має 6% річної прибутковості, подвоїться за 12 років.

Таким чином, інвестиція з 8% річної норми прибутку подвоїться за дев'ять років.

Складний річний темп приросту (CAGR)

Складений річний темп зростання (CAGR) використовується для більшості фінансових застосувань, які вимагають розрахунку єдиного темпу зростання за певний проміжок часу.

Скажімо, ваш інвестиційний портфель виріс з 10 000 до 16 000 доларів за п'ять років; що таке CAGR? По суті, це означає, що PV = - 10000 доларів, FV = 16 000 доларів, nt = 5, тому змінна “i” повинна бути обчислена. Використовуючи фінансовий калькулятор або Excel, можна показати, що i = 9, 86%.

(Зверніть увагу, що згідно з конвенцією про рух грошових потоків, ваша початкова інвестиція (ПВ) у розмірі 10 000 доларів США відображається з від'ємним знаком, оскільки це означає відтік коштів. У PV та FV обов'язково повинні бути протилежні знаки, щоб вирішити для "i" у наведеному вище рівняння).

Програми реального життя CAGR

CAGR широко використовується для обчислення прибутку за періоди часу для портфелів акцій, пайових фондів та інвестиційних портфелів. CAGR також використовується для встановлення, чи перевищував менеджер пайових інвестицій або менеджер портфеля протягом певного періоду норму прибутку на ринку. Якщо, наприклад, ринковий індекс забезпечив загальну віддачу в розмірі 10% за п'ятирічний період, але менеджер фонду генерував лише 9% річних доходів за той же період, менеджер недооцінював ринок.

CAGR може також використовуватися для обчислення очікуваних темпів зростання портфелів інвестицій протягом тривалих періодів часу, що корисно для таких цілей, як економія на пенсії. Розглянемо наступні приклади:

Приклад 1: Інвестор, що не сприймає ризик, задоволений скромною 3% річної дохідності свого портфеля. Тому її портфель в 100 000 доларів після 20 років виросте до 180 611 доларів. На противагу цьому, інвестор, сприйнятливий до ризику, який очікує щорічного повернення 6% свого портфеля, побачить, що 100 000 доларів зростуть до 320 714 доларів через 20 років.

Приклад 2: CAGR можна використовувати, щоб оцінити, скільки потрібно відкласти, щоб заощадити для досягнення конкретної мети. Пара, яка хотіла б заощадити 50 000 доларів за 10 років на початковий внесок на кондо, повинна зекономити 4165 доларів на рік, якщо вони припускають щорічну віддачу (CAGR) 4% від своїх заощаджень. Якщо вони готові взяти на себе трохи додаткового ризику і очікують, що CAGR складе 5%, їм потрібно буде економити 3 975 доларів щорічно.

Приклад 3: CAGR також може бути використаний для демонстрації чеснот інвестування раніше, ніж пізніше в житті. Якщо мета полягає в тому, щоб заощадити 1 мільйон доларів США на пенсії у віці 65 років, виходячи з CAGR 6%, 25-річному віку потрібно буде економити $ 6 462 на рік, щоб досягти цієї мети. З іншого боку, 40-річному чоловікові потрібно було б заощадити 18 227 доларів, або майже втричі більше, щоб досягти тієї ж мети.

• CAGR також часто з'являються в економічних даних. Ось приклад: ВВП на душу населення в Китаї збільшився з 193 доларів у 1980 році до 6 091 доларів у 2012 році. Який річний приріст ВВП на душу населення за цей 32-річний період? Темп зростання “i” в цьому випадку виявляється вражаючим 11, 4%.

Плюси і мінуси ускладнення

Хоча магія складання привела до апокрифної історії Альберта Ейнштейна, називаючи це восьмим чудом світу чи найбільшим винаходом людини, складання може також працювати проти споживачів, які мають позики, які мають дуже високі відсоткові ставки, наприклад, борг за кредитною карткою. Сальдо кредитної картки в розмірі 20 000 доларів США, проведене за відсотковою ставкою 20%, щомісячно приводить до загальних складних відсотків у розмірі 4388 доларів США протягом року або приблизно 365 доларів на місяць.

З позитивного боку, магія складання може працювати на вашу користь, коли справа стосується ваших інвестицій, і може бути потужним фактором у створенні багатства. Експонентне зростання від ускладнення інтересу також важливе для пом’якшення факторів, що знищують багатство, як, наприклад, зростання вартості життя, інфляція та зниження купівельної спроможності.

Взаємні фонди пропонують інвесторам один із найпростіших способів отримати вигоду від складних відсотків. Вибір реінвестувати дивіденди, отримані за рахунок взаємного фонду, призводить до придбання більшої кількості акцій фонду. З часом накопичується більше складний відсоток, і цикл придбання більшої кількості акцій продовжить сприяти зростанню інвестицій у фонд.

Розглянемо інвестиції у взаємний фонд, відкриті початковими 5000 доларами США та щорічно додаючи 2400 доларів. З середньою щорічною віддачею 30% за 30 років майбутня вартість фонду становить 798 500 доларів. Складний відсоток - це різниця між грошовими коштами, внесеними в інвестиції, і фактичною майбутнім значенням інвестиції. У цьому випадку, вносячи 77 000 доларів США або сукупний внесок у розмірі всього 200 доларів на місяць протягом 30 років, складні відсотки становлять 721 500 доларів майбутнього балансу. Звичайно, прибуток від складних відсотків оподатковується, якщо гроші не є на рахунку, захищеному від оподаткування; він зазвичай оподатковується за стандартною ставкою, пов'язаною з податковою категорією платника податків.

Складні інвестиції

Інвестор, який обрав план реінвестування на брокерському рахунку, по суті, використовує силу сплати коштів у будь-який інвестиційний фонд. Інвестори можуть також відчувати складні відсотки, купуючи облігацію з нульовим купоном. Традиційні випуски облігацій забезпечують інвесторів періодичними виплатами відсотків, виходячи з початкових умов випуску облігацій, і оскільки вони виплачуються інвестору у вигляді чека, відсотки не утворюються. Облігації з нульовими купонами інвесторам не надсилають перевірок відсотків; натомість цей тип облігацій купується зі знижкою до початкової вартості та зростає з часом. Емітенти облігацій за нульовими купонами використовують силу сполуки для збільшення вартості облігації, щоб вона досягла своєї повної ціни під час погашення.

Складування може також працювати для вас, коли ви виплачуєте кредит. Наприклад, якщо половина вашої іпотечної виплати два рази на місяць, наприклад, замість того, щоб здійснювати повний платіж один раз на місяць, це в кінцевому рахунку скоротить ваш період амортизації та заощадить значну суму відсотків. Якщо говорити про позики…

Повідомлення, якщо інтерес є складним

Закон "Істина про позику" (TILA) вимагає, щоб позикодавці розкривали умови позики потенційним позичальникам, включаючи загальну суму відсотків у доларах, що підлягають погашенню протягом терміну дії кредиту, а також про те, чи нараховуються відсотки просто або посилюються.

Іншим методом є порівняння процентної ставки позики з її річною процентною ставкою (APR), яку TILA також вимагає розкривати кредиторам. APR перетворює фінансові витрати за вашим кредитом, які включають усі відсотки та збори, у просту процентну ставку. Суттєва різниця між процентною ставкою та квітнем означає один або обидва сценарії: Ваш кредит використовує складні відсотки, або він включає значні збори за позику на додаток до відсотків.