Як використовувати моделювання Монте Карло з gbm

Одним з найпоширеніших способів оцінки ризику є використання моделювання Монте-Карло (MCS). Наприклад, для обчислення величини ризику (VaR) портфеля, ми можемо запустити моделювання Монте-Карло, яке намагається передбачити найгірший ймовірний збиток для портфеля з урахуванням інтервалу довіри протягом визначеного часового горизонту (нам завжди потрібно вказати два умови для VaR: впевненість і горизонт)., ми розглянемо базовий MCS, застосований до ціни акцій, використовуючи одну з найпоширеніших моделей у фінансах: геометричний броунівський рух (GBM). Тому, хоча моделювання в Монте-Карло може стосуватися всесвіту різних підходів до моделювання, ми розпочнемо тут із самого основного.

З чого почати

Моделювання в Монте-Карло - це спроба багато разів передбачити майбутнє. Наприкінці моделювання тисячі чи мільйони "випадкових випробувань" виробляють розподіл результатів, які можна проаналізувати. Основні етапи:

1. Вкажіть модель (наприклад, GBM)

Для цієї статті ми будемо використовувати геометричний броунівський рух (ГБМ), який технічно є марковським процесом. Це означає, що ціна акцій слідує за випадковим кроком і відповідає (принаймні) слабкій формі гіпотези ефективного ринку (EMH) - інформація про ціни вже включена, і наступний рух цін "умовно не залежить" минулого рух цін.

Формула GBM знаходиться нижче:

Сігналы абмеркавання $\begin{matrix} \frac{Δ S}{S} = мк Δ т + σ ϵ \sqrt{Δ т} \\ де: \\ S = ціна акцій \\ Δ S = зміна ціни акцій \\ мк = очікувана віддача \\ σ = стандартне відхилення віддачі \\ ϵ = випадкова величина \end{matrix} \ початок {вирівняний} & \ frac { Delta S} {S} = \ \ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t} \ & \ textbf {where:} \ & S = \ текст {ціна акцій} \ & \ Delta S = \ текст {зміна ціни акцій} \ & \ mu = \ текст {очікуваний прибуток} \ & \ sigma = \ текст {стандартне відхилення повертається} \ & \ epsilon = \ текст {випадкова величина} \ & \ Delta t = \ текст {минулий проміжок часу} кінець {вирівняний}$ SΔS = μΔt + σϵΔt, де: S = ціна акційΔS = зміна ціни акційμ = очікувана віддачаσ = стандартне відхилення прибуткуϵ = випадкова величина

Якщо ми переставляємо формулу для вирішення лише для зміни ціни акцій, ми бачимо, що GBM каже, що зміна ціни на акції - це ціна акцій "S", помножена на два терміни, знайдені всередині дужок нижче:

Сігналы абмеркавання $Δ S = S \times (мк Δ т + σ ϵ \sqrt{Δ т}) \ Delta S \ = \ S \ \ раз ( mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t})$ ΔS = S × (μΔt + σϵΔt)

Перший термін - "дрейф", а другий термін - "шок". За кожний проміжок часу наша модель передбачає, що ціна "зросте" до очікуваної віддачі. Але дрейф буде шокований (доданий або віднятий) випадковим шоком. Випадковим шоком буде стандартне відхилення "s", помножене на випадкове число "e". Це просто спосіб масштабування стандартного відхилення.

У цьому полягає суть ГБМ, як проілюстровано на малюнку 1. Ціна акцій проводиться за послідовними кроками, де кожен крок є дрейфом плюс або мінус випадкового шоку (сам по собі функція стандартного відхилення акції):

2. Створюйте випадкові випробування

Озброївшись специфікацією моделі, ми продовжуємо виконувати випадкові випробування. Для ілюстрації ми використовували Microsoft Excel для проведення 40 випробувань. Майте на увазі, що це нереально малий зразок; більшість симуляцій або "сим" проводять щонайменше кілька тисяч випробувань.

У цьому випадку припустимо, що акція починається з нуля дня ціною 10 доларів. Ось діаграма результатів, коли кожен крок (або інтервал) становить один день, а серія триває десять днів (підсумовуючи: сорок випробувань із щоденними кроками протягом десяти днів):

Результат - сорок модельованих цін на акції наприкінці 10 днів. Жоден з них не впав нижче 9 доларів, а один вище 11 доларів.

3. Обробити вихід

Моделювання призвело до розподілу гіпотетичних майбутніх результатів. Ми могли б зробити кілька речей з результатом.

Якщо, наприклад, ми хочемо оцінити VaR з 95% впевненістю, тоді нам потрібно знайти лише результат тридцять восьмого рейтингу (третій найгірший результат). Це тому, що 2/40 дорівнює 5%, тож два найгірші результати - у найнижчих 5%.

Якщо ми розмістимо проілюстровані результати в бункери (кожен контейнер становить третину від 1 долара, тому три бункери охоплюють інтервал від $ 9 до $ 10), ми отримаємо наступну гістограму:

Пам'ятайте, що наша модель GBM передбачає нормальність; цінова декларація зазвичай розподіляється з очікуваною віддачею (середнім) "м" і стандартним відхиленням "s". Цікаво, що наша гістограма не виглядає нормально. Насправді, при більшій кількості випробувань це не буде прагнути до нормальності. Натомість вона буде схильна до лонормального розподілу: різке падіння ліворуч від середнього і сильно косий "довгий хвіст" праворуч від середнього.

Це часто призводить до заплутаної динаміки для студентів-початківців:

Прибуткові ціни зазвичай розподіляються. Рівні цін звичайно розподіляються.

Подумайте про це так: запас може повернутись вгору або вниз на 5% або 10%, але через певний проміжок часу ціна акцій не може бути негативною. Крім того, підвищення цін на ногу має ефект ущільнення, тоді як зменшення ціни на зворотній стороні зменшує базу: втрачайте 10%, і ви наступного разу втрачаєте менше.

Ось діаграма лонормального розподілу, накладена на наші проілюстровані припущення (наприклад, початкова ціна 10 доларів):

Суть

Симуляція Монте-Карло застосовує обрану модель (яка визначає поведінку інструменту) до великого набору випадкових випробувань, намагаючись створити правдоподібний набір можливих майбутніх результатів. Що стосується моделювання цін на акції, то найпоширенішою моделлю є геометричний броунівський рух (ГБМ). ГБМ передбачає, що постійний дрейф супроводжується випадковими потрясіннями. Хоча доходи за період в межах ГБМ зазвичай розподіляються, відповідно багаторічний (наприклад, десять днів) рівень цін розподіляється ненормально.

Зміст: